SAT

Trigonometry

Trigonometry that makes sense: sine, cosine and tangent in right triangles and on the unit circle, with special angles and exam-style questions.

Trigonometry in 5 minutes

In a right triangle, once you fix an acute angle $θ$ , the ratios between the sides are fixed, no matter how big the triangle is. These ratios have names: sine, cosine and tangent. With them, one angle and one side are enough to find the other sides: heights of buildings, ramps, distances you can’t measure with a tape.

Rule 1

SOH‑CAH‑TOA

sin θ = \frac{opp}{hyp} cos θ = \frac{adj}{hyp}

tan θ = \frac{opp}{adj} = \frac{sin θ}{cos θ}

“Opposite” and “adjacent” depend on which angle you pick. The hypotenuse is always the side across from the right angle. This works only in right triangles.

Rule 2

Special angles

sin 30° = \frac{1}{2} sin 45° = \frac{2}{2} sin 60° = \frac{3}{2}

180° = π rad

Cosine is the same list in reverse: $cos 30° = \frac{3}{2}$ , $cos 45° = \frac{2}{2}$ , $cos 60° = \frac{1}{2}$ . And $tan 45° = 1$ .

Rule 3

Key identities

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

sin θ = cos (90° - θ)

The first is the Pythagorean theorem on a circle of radius $1$ . The second says the two acute angles of a right triangle swap sine and cosine.

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

In a $3$ ‑ $4$ ‑ $5$ right triangle, the side opposite $θ$ is $3$ . What is $sin θ$ ?

What is $sin 30°$ ?

What is $\frac{π}{3}$ rad in degrees?

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. In a right triangle the hypotenuse is $10$ and $cos θ = 0.8$ . How long is the leg adjacent to $θ$ ?

2. An $8$ m ramp makes a $30°$ angle with the ground. How high does it rise?

3. When the Sun is $45°$ above the horizon, a tree casts a $15$ m shadow. How tall is the tree?

4. If $sin θ = \frac{3}{5}$ and $θ$ is acute, what is $cos θ$ ?

5. If $sin 28° = cos x °$ and $0 < x < 90$ , what is $x$ ?

6. What is $150°$ in radians?

7. From a point $30$ m from the base of a building, the top is seen at a $30°$ angle of elevation. How tall is the building?

8. For which acute angle $θ$ is $sin θ = cos θ$ ?

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · The accessibility ramp

A ramp makes a $30°$ angle with the ground and is $12$ m long. How high does it rise, and how much floor does it take up (horizontal length)?

Example 2 · Height of a building without climbing it

From a point on the ground $20$ m from the base of a building, a person sees the top at a $60°$ angle of elevation. How tall is the building? (Use $3 \approx 1.73$ .)

Example 3 · From sine to cosine and tangent

Given $sin θ = \frac{5}{13}$ and $θ$ acute, find $cos θ$ and $tan θ$ .

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Swapping opposite and adjacent

✗ Wrong

3

‑

4

‑

5

triangle, opposite

θ

3

cos θ = \frac{3}{5}

✓ RightCosine uses the adjacent side:

cos θ = \frac{4}{5}

. Mark on the drawing which side touches the angle.

Try it: In the same triangle, what is $tan θ$ ?

Calculator in radian mode

✗ WrongOn the calculator:

sin (30) = - 0.988

✓ RightThe calculator was in radians (RAD). In degrees (DEG),

sin 30° = 0.5

Try it: What is $sin \frac{π}{6}$ ?

Thinking sine is proportional to the angle

✗ Wrong

sin 60° = 2 \cdot sin 30° = 1

✓ RightSine does not grow in a straight line:

sin 60° = \frac{3}{2} \approx 0.87

Try it: Is $sin 90°$ equal to $3 \cdot sin 30°$ ?

Misreading $sin^{2} θ$

✗ Wrong

sin^{2} θ = sin (θ^{2})

✓ Right

sin^{2} θ = (sin θ)^{2}

: take the sine first, then square it.

Try it: What is $sin^{2} 30°$ ?

Using SOH‑CAH‑TOA outside a right triangle

✗ WrongIn any triangle:

sin A = \frac{opposite side}{longest side}

✓ RightThe ratios only work with a right angle. In other triangles, draw a height to make right triangles (or use the laws of sines and cosines).

Try it: An equilateral triangle has side $2$ . What is its height?

Try it: the unit circle

Turn the angle and watch the sine (height) and cosine (base) of the point on the circle of radius $1$ , with the signs in each quadrant and a check that $sin^{2} + cos^{2} = 1$ .

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

ENEM style

An airplane takes off at a constant $30°$ angle to the runway. After traveling $2, 000$ m in a straight line from takeoff, how high above the ground is it?

Entrance-exam style

Given $sin x = 0.6$ and $90° < x < 180°$ , the value of $cos x$ is:

SAT style

In right triangle $A B C$ , angle $C$ measures $90°$ . If $cos A = \frac{12}{13}$ , what is the value of $sin B$ ?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

Trigonometry starts with a simple observation: in right triangles sharing the same angle, the ratio between any two sides is always the same, regardless of the triangle's size. Sine, cosine, and tangent are just names for those three constant ratios. From that single idea — a ratio that doesn't change — all of trigonometry, including the unit circle, which looks like a completely different topic at first, is just that same ratio generalized to any angle, not only the ones that fit inside a right triangle.

Why it matters

Why don't these ratios change? Because triangles with equal angles are similar — one is a scaled-up version of the other. Double every side and the ratio between any two stays identical. That's why you can measure a building's height knowing only an angle and a distance: the ratio holds equally for the tiny triangle on paper and the giant one in real life. The fundamental identity (sin²θ + cos²θ = 1) isn't a loose rule to memorize — it's the Pythagorean theorem itself, applied to the unit triangle of the trigonometric circle.

Formula

In a right triangle (SOH-CAH-TOA):
  sin θ = opposite / hypotenuse
  cos θ = adjacent / hypotenuse
  tan θ = opposite / adjacent

Fundamental identity:  sin²θ + cos²θ = 1

Special angles:
         30°      45°      60°
  sin   1/2     √2/2     √3/2
  cos   √3/2    √2/2     1/2
  tan   √3/3     1        √3

Worked example

A ramp makes a 30° angle with the ground and is 10 m long. How high does it reach?

The ramp's length is the HYPOTENUSE (10 m).
The height is the side OPPOSITE the 30° angle.
Opposite over hypotenuse is sine.

sin 30° = height / 10
1/2 = height / 10
height = 5 m

The fundamental identity confirms consistency: if sin30° = 0.5, then cos30° = √(1−0.25) = 0.866 ✓, matching the tabulated value of √3/2.

Where this shows up in real life

Engineering and construction (roof pitch, accessibility ramps, structural stability). GPS and navigation, which calculate position by solving triangles. Every 3D game and animation uses sine and cosine to compute rotation. Sound waves and electrical signals are described by trigonometric functions — without them there'd be no radio, digital music, or phones.

💡 Study tip

Memorize only the 30°, 45°, and 60° table by heart — those are the angles that show up on practically every test. And remember: sine and cosine never exceed 1, because a leg is never longer than the hypotenuse. If your work gives sin θ = 1.4, something went wrong.

⚠️ Common mistake

Swapping the opposite and adjacent sides. The opposite is the one "facing" the angle you're using; the adjacent forms the angle together with the hypotenuse. Before deciding which side is which, mark the angle on your sketch — 10 seconds that prevent flipping sine and cosine.

Fun fact

The word "sine" comes from a translation error. Indian mathematicians used "jya" (bowstring); Arabs transliterated it as "jiba"; translating to Latin, someone read it as "jaib," which in Arabic means "bay" or "fold," and wrote "sinus." The wrong name stuck and remains today.

Practice

Question: A 6 m ladder leans against a wall, forming a 60° angle with the ground. How high up the wall does it reach?

Show answer

The ladder is the HYPOTENUSE (6 m).
The height on the wall is the side OPPOSITE the 60° angle.
Opposite over hypotenuse is sine.

sin 60° = height / 6
√3/2 = height / 6
height = 6 × 0.866 ≈ 5.2 m

Sanity check: 5.2 is less than the ladder's 6 m, as it must be — the height on the wall can never exceed the length of the ladder itself.

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One-page summary (PDF)

Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

How do I remember the special-angle table?

Write $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}$ for the sine of $30°, 45°, 60°$ (and $1 = 1$ ). Cosine is the same row backwards. Tangent is sine divided by cosine.

Why do radians exist?

A radian measures an angle by the arc length on a circle of radius $1$ : a full turn has length $2 π$ , so $360° = 2 π$ rad. It is the natural unit in physics and calculus, and it shows up on the SAT and entrance exams.

Can sine and cosine be negative?

In a right triangle, no (the angles are acute). On the unit circle, yes: cosine is the $x$ -coordinate and sine is the $y$ -coordinate of the point. In quadrant II cosine is negative; in quadrant III both are; in quadrant IV sine is.

Where does trigonometry show up on exams?

ENEM: ramps, heights, shadows and angles of elevation. Brazilian entrance exams: the unit circle, identities and equations. SAT: right-triangle ratios, complementary angles, radians and the unit circle, in Geometry and Trigonometry.

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SAT

Trigonometria

Trigonometria com significado: seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e no círculo trigonométrico, com ângulos notáveis e questões de ENEM, vestibular e SAT.

Trigonometria em 5 minutos

Num triângulo retângulo, se você fixa um ângulo agudo $θ$ , as razões entre os lados ficam fixas, não importa o tamanho do triângulo. Essas razões têm nome: seno, cosseno e tangente. Com elas, um ângulo e um lado bastam para descobrir os outros lados: altura de prédios, rampas, distâncias que não dá para medir com trena.

Regra 1

SOH‑CAH‑TOA

sen θ = \frac{op}{hip} cos θ = \frac{adj}{hip}

tg θ = \frac{op}{adj} = \frac{sen θ}{cos θ}

“Oposto” e “adjacente” dependem do ângulo escolhido. A hipotenusa é sempre o lado em frente ao ângulo reto. Vale só em triângulo retângulo.

Regra 2

Ângulos notáveis

sen 30° = \frac{1}{2} sen 45° = \frac{2}{2} sen 60° = \frac{3}{2}

180° = π rad

O cosseno é a mesma lista ao contrário: $cos 30° = \frac{3}{2}$ , $cos 45° = \frac{2}{2}$ , $cos 60° = \frac{1}{2}$ . E $tg 45° = 1$ .

Regra 3

Relações fundamentais

sen^{2} θ + cos^{2} θ = 1

sen θ = cos (90° - θ)

A primeira é Pitágoras no círculo de raio $1$ . A segunda diz que os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo trocam seno e cosseno.

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Num triângulo retângulo de lados $3$ , $4$ e $5$ , o lado oposto a $θ$ mede $3$ . Quanto vale $sen θ$ ?

Quanto vale $sen 30°$ ?

Quanto mede $\frac{π}{3}$ rad em graus?

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede $10$ e $cos θ = 0, 8$ . Quanto mede o cateto adjacente a $θ$ ?

2. Uma rampa de $8$ m de comprimento forma $30°$ com o chão. Que altura ela vence?

3. Quando o Sol está a $45°$ acima do horizonte, uma árvore projeta uma sombra de $15$ m. Qual é a altura da árvore?

4. Se $sen θ = \frac{3}{5}$ e $θ$ é agudo, quanto vale $cos θ$ ?

5. Se $sen 28° = cos x °$ e $0 < x < 90$ , quanto vale $x$ ?

6. Quanto é $150°$ em radianos?

7. De um ponto a $30$ m da base de um prédio, vê-se o topo sob um ângulo de $30°$ . Qual é a altura do prédio?

8. Para qual ângulo agudo $θ$ temos $sen θ = cos θ$ ?

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · A rampa de acessibilidade

Uma rampa forma $30°$ com o chão e tem $12$ m de comprimento. Que altura ela vence e quanto ela ocupa no chão (comprimento horizontal)?

Exemplo 2 · Altura de um prédio sem subir nele

De um ponto no chão a $20$ m da base de um prédio, uma pessoa vê o topo sob um ângulo de elevação de $60°$ . Qual é a altura do prédio? (Use $3 \approx 1, 73$ .)

Exemplo 3 · Do seno para o cosseno e a tangente

Sabendo que $sen θ = \frac{5}{13}$ e que $θ$ é agudo, calcule $cos θ$ e $tg θ$ .

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Trocar oposto e adjacente

✗ ErradoTriângulo

3

‑

4

‑

5

, oposto a

θ

3

cos θ = \frac{3}{5}

✓ CertoCosseno usa o adjacente:

cos θ = \frac{4}{5}

. Marque no desenho qual lado encosta no ângulo.

Teste: No mesmo triângulo, quanto vale $tg θ$ ?

Calculadora em radianos

✗ ErradoNa calculadora:

sen (30) = - 0, 988

✓ CertoA calculadora estava em radianos (RAD). Em graus (DEG),

sen 30° = 0, 5

Teste: Quanto vale $sen \frac{π}{6}$ ?

Achar que o seno é proporcional ao ângulo

✗ Errado

sen 60° = 2 \cdot sen 30° = 1

✓ CertoO seno não cresce em linha reta:

sen 60° = \frac{3}{2} \approx 0, 87

Teste: $sen 90°$ é igual a $3 \cdot sen 30°$ ?

Errar o que $sen^{2} θ$ significa

✗ Errado

sen^{2} θ = sen (θ^{2})

✓ Certo

sen^{2} θ = (sen θ)^{2}

: primeiro o seno, depois ao quadrado.

Teste: Quanto vale $sen^{2} 30°$ ?

Usar SOH‑CAH‑TOA fora do triângulo retângulo

✗ ErradoNum triângulo qualquer:

sen A = \frac{lado oposto}{maior lado}

✓ CertoAs razões só valem com ângulo reto. Em outros triângulos, trace uma altura para criar triângulos retângulos (ou use lei dos senos e cossenos).

Teste: Um triângulo equilátero tem lado $2$ . Qual é a altura?

Experimente: o círculo trigonométrico

Gire o ângulo e veja o seno (altura) e o cosseno (base) do ponto no círculo de raio $1$ , com os sinais em cada quadrante e a conferência de $sen^{2} + cos^{2} = 1$ .

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo ENEM

Um avião decola sob um ângulo constante de $30°$ com a pista. Depois de percorrer $2000$ m em linha reta desde a decolagem, a que altura do solo ele está?

Estilo vestibular

Sabendo que $sen x = 0, 6$ e que $90° < x < 180°$ , o valor de $cos x$ é:

Estilo SAT

No triângulo retângulo $A B C$ , o ângulo $C$ mede $90°$ . Se $cos A = \frac{12}{13}$ , qual é o valor de $sen B$ ?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Trigonometria começa de uma observação simples: em triângulos retângulos com o mesmo ângulo, a razão entre dois lados quaisquer é sempre a mesma, não importa o tamanho do triângulo. Seno, cosseno e tangente são só nomes para essas três razões constantes. A partir dessa ideia de "razão que não muda", toda a trigonometria — incluindo o círculo trigonométrico, que parece um assunto totalmente diferente à primeira vista — é apenas essa mesma razão generalizada para qualquer ângulo, não só os que cabem dentro de um triângulo retângulo.

Por que isso importa

Por que essas razões não mudam? Porque triângulos com ângulos iguais são semelhantes — um é uma versão ampliada do outro. Dobre todos os lados e a razão entre quaisquer dois permanece idêntica. É por isso que dá para medir a altura de um prédio sabendo só um ângulo e uma distância: a razão vale igualmente para o triângulo minúsculo desenhado no papel e para o gigante do mundo real. A identidade fundamental (sen²θ + cos²θ = 1) não é uma regra solta para decorar — é o próprio teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo unitário do círculo trigonométrico.

Fórmula

No triângulo retângulo (SOH-CAH-TOA):
  sen θ = cateto oposto / hipotenusa
  cos θ = cateto adjacente / hipotenusa
  tg θ  = cateto oposto / cateto adjacente

Relação fundamental:  sen²θ + cos²θ = 1

Ângulos notáveis:
         30°      45°      60°
  sen   1/2     √2/2     √3/2
  cos   √3/2    √2/2     1/2
  tg    √3/3     1        √3

Exemplo resolvido

Uma rampa forma 30° com o chão e tem 10 m de comprimento. Qual a altura que ela alcança?

O comprimento da rampa é a HIPOTENUSA (10 m).
A altura é o cateto OPOSTO ao ângulo de 30°.
Oposto sobre hipotenusa é seno.

sen 30° = altura / 10
1/2 = altura / 10
altura = 5 m

A relação fundamental confirma a consistência: se sen30° = 0,5, então cos30° = √(1−0,25) = 0,866 ✓, que bate com o valor tabelado de √3/2.

Onde isso aparece na vida real

Engenharia e construção civil (inclinação de telhado, rampa de acessibilidade, estabilidade estrutural). GPS e navegação, que calculam posição resolvendo triângulos. Todo jogo e toda animação 3D usa seno e cosseno para calcular rotação. Ondas sonoras e sinais elétricos são descritos por funções trigonométricas — sem elas não existiria rádio, música digital nem telefone.

💡 Dica de estudo

Grave de cor só a tabela de 30°, 45° e 60° — são os ângulos que aparecem em praticamente toda prova. E lembre: seno e cosseno nunca passam de 1, porque um cateto nunca é maior que a hipotenusa. Se sua conta der sen θ = 1,4, há erro em algum lugar.

⚠️ Erro comum

Trocar cateto oposto por cateto adjacente. O oposto é aquele que "olha" para o ângulo que você está usando; o adjacente forma o ângulo junto com a hipotenusa. Antes de decidir qual lado é qual, marque o ângulo no desenho — 10 segundos que evitam inverter seno e cosseno.

Curiosidade

A palavra "seno" nasce de um erro de tradução. Matemáticos indianos usavam "jya" (corda de arco); árabes transliteraram como "jiba"; ao traduzir para o latim, alguém leu "jaib", que em árabe significa "baía" ou "dobra", e escreveu "sinus". O nome errado ficou e permanece até hoje.

Pratique

Questão: Uma escada de 6 m está apoiada numa parede, formando 60° com o chão. Até que altura da parede ela chega?

Ver resposta

A escada é a HIPOTENUSA (6 m).
A altura na parede é o cateto OPOSTO ao ângulo de 60°.
Oposto sobre hipotenusa é seno.

sen 60° = altura / 6
√3/2 = altura / 6
altura = 6 × 0,866 ≈ 5,2 m

Conferência de sanidade: 5,2 é menor que os 6 m da escada, como tem que ser — a altura na parede nunca pode superar o comprimento da própria escada.

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

Como decorar a tabela dos ângulos notáveis?

Escreva $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}$ para o seno de $30°, 45°, 60°$ (e $1 = 1$ ). O cosseno é a mesma linha de trás para frente. A tangente é seno dividido por cosseno.

Por que existe radiano?

Radiano mede o ângulo pelo comprimento do arco no círculo de raio $1$ : uma volta inteira tem comprimento $2 π$ , então $360° = 2 π$ rad. É a unidade natural em física e cálculo, e aparece no SAT e nos vestibulares.

Seno e cosseno podem ser negativos?

No triângulo retângulo, não (os ângulos são agudos). No círculo trigonométrico, sim: o cosseno é a coordenada $x$ e o seno é a coordenada $y$ do ponto. No $2^{\circ}$ quadrante o cosseno é negativo; no $3^{\circ}$ , os dois; no $4^{\circ}$ , o seno.

Onde a trigonometria aparece nas provas?

No ENEM: rampas, alturas, sombras e ângulos de elevação. Nos vestibulares: círculo trigonométrico, identidades e equações. No SAT: razões no triângulo retângulo, ângulos complementares, radianos e o círculo unitário, em Geometry and Trigonometry.

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Misreading sin2θ

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Erros que custam pontos

Trocar oposto e adjacente

Calculadora em radianos

Achar que o seno é proporcional ao ângulo

Errar o que sen2θ significa

Usar SOH‑CAH‑TOA fora do triângulo retângulo

Experimente: o círculo trigonométrico

Onde cai na prova

Entender a fundo

Por que isso importa

Fórmula

Exemplo resolvido

Onde isso aparece na vida real

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Errar o que $sen^{2} θ$ significa