Grades 7–9

Plane geometry

Plane geometry that makes sense: angles, areas and the Pythagorean theorem explained with pictures, exam examples and a tool to try.

Plane geometry in 5 minutes

Almost every plane-geometry question uses just three ideas: the angles of a triangle add up to $180°$ , area is how many $1 \times 1$ squares fit inside the shape and, in every right triangle, $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Master these three and you can solve most problems by drawing the figure and writing one equation.

Rule 1

Angle sum

\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°

S_{n} = (n - 2) \cdot 180°

In a polygon with $n$ sides, the interior angles add up to $(n - 2) \cdot 180°$ : it splits into $n - 2$ triangles.

Rule 2

Key areas

A_{□} = b \cdot h A_{△} = \frac{b \cdot h}{2}

A_{\circ} = π r^{2}

The height $h$ is always perpendicular to the base. A triangle is half of a rectangle with the same base and height.

Rule 3

Pythagorean theorem

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Right triangles only. $c$ is the hypotenuse, the side opposite the $90°$ angle (the longest side). Famous triples: 3‑4‑5, 5‑12‑13, 8‑15‑17.

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

A triangle has angles of $50°$ and $60°$ . What is the third angle?

What is the area of a triangle with base $10$ cm and height $6$ cm?

The legs of a right triangle are $6$ and $8$ . How long is the hypotenuse?

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. What is the sum of the interior angles of a hexagon?

2. A rectangle has area $24$ cm² and one side is $6$ cm. What is its perimeter?

3. What is the area of a circle with radius $3$ cm?

4. In a right triangle the hypotenuse is $13$ and one leg is $5$ . How long is the other leg?

5. A rectangular room is $8$ m by $5$ m and has a built-in closet taking up $2$ m by $1$ m of floor. What is the free floor area?

6. A $5$ m ladder leans against a wall with its foot $3$ m from the wall. How high up the wall does it reach?

7. If we double the side of a square, its area is:

8. A square with side $4$ has a circle inscribed in it (touching all four sides). What is the area of the region inside the square but outside the circle?

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · Area of a composite shape

A plot of land is a $10$ m by $6$ m rectangle with a $4$ m by $3$ m rectangular corner removed (making an “L”). What are the area and the perimeter of the plot?

Example 2 · The Pythagorean theorem in real life

A $10$ m ladder leans against a wall with its foot $6$ m from the wall. How high does it reach? If the foot is pulled $2$ m further away, how far does the top slide down?

Example 3 · Shaded region

A square with side $4$ cm has an inscribed circle. What is the area of the part of the square outside the circle? Use $π \approx 3.14$ .

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Forgetting to divide by 2 for a triangle

✗ WrongTriangle with base

10

and height

6

: area

= 60

✓ Right

A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{60}{2} = 30

. The triangle is half of the rectangle.

Try it: Area of a triangle with base $7$ and height $4$ ?

Using the slanted side as the height

✗ WrongParallelogram with sides

8

and

5

(height

4

): area

= 8 \cdot 5 = 40

✓ RightThe height is the perpendicular distance between the bases:

A = 8 \cdot 4 = 32

Try it: A triangle has base $6$ , another side $5$ and height $4$ to that base. What is its area?

Adding the legs to get the hypotenuse

✗ WrongLegs

3

and

4

: hypotenuse

= 3 + 4 = 7

✓ Right

c = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

. Add the squares, then take the square root.

Try it: Legs $5$ and $12$ : hypotenuse?

Thinking that doubling the side doubles the area

✗ WrongSquare with side

3

(area

9

) → side

6

: area

18

✓ RightArea

= 6^{2} = 36

, that is,

4

times larger. Scaling by

k

multiplies the area by

k^{2}

Try it: A $40$ cm pizza has how many times the area of a $20$ cm pizza?

Using the diameter instead of the radius

✗ WrongCircle with diameter

10

: area

= π \cdot 1 0^{2} = 100 π

✓ RightThe radius is half the diameter:

r = 5

, so

A = 25 π

Try it: Area of a circle with diameter $8$ ?

Try it: area, perimeter and scaling

Pick a shape, change its measurements and see its area and perimeter. Then scale it up and discover why area grows with the square of the scale factor.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

Math Olympiad style (OBMEP)

The interior angles of a triangle are in the ratio $2 : 3 : 4$ . What is the largest angle?

ENEM style

The floor of a $6$ m by $4$ m rectangular room will be covered with square tiles $50$ cm on a side, with no gaps or cuts. How many tiles are needed?

SAT style

A right triangle has legs of length $9$ and $12$ . What is the perimeter of the triangle?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

Plane geometry studies what happens when you fix a few measurements and ask what else that forces to be true. If you know two angles of a triangle, the third is already determined — not a choice, a consequence. That's the nature of geometry: a small set of facts (the sum of interior angles, say) cascades into other facts that look new but are really the same information seen from a different angle — literally.

Why it matters

The interior angles of a triangle summing to 180° isn't a coincidence or an arbitrary rule: it's a direct consequence of parallel lines cut by a transversal. Draw a line through the opposite vertex, parallel to one of the triangle's sides, and the triangle's three angles become three consecutive angles sitting on that line — which sum to 180° because they form a straight line. Understanding that proof (not just memorizing the result) is what lets you generalize: a quadrilateral sums to 360° because it can be split into two triangles.

Formula

Sum of interior angles:
  Triangle: 180°
  Quadrilateral: 360°
  n-sided polygon: (n−2) × 180°

Angles and parallel lines (transversal):
  corresponding: equal
  alternate interior: equal
  co-interior: sum to 180°

Area:
  Triangle: (base × height) / 2
  Rectangle: base × height
  Circle: π × r²

Pythagorean theorem (right triangle):
  a² + b² = c²   (c = hypotenuse)

Worked example

A triangle has angles of 55° and 70°. What's the third angle, and does the triangle fit a special classification?

Sum of interior angles = 180°
180° − 55° − 70° = 55°

The third angle is 55° — equal to the first. Two equal angles means two equal sides (the side opposite each equal angle matches in length), so this is an isosceles triangle, even though no side length was ever given.

Where this shows up in real life

Architecture and civil engineering depend on angles and areas for everything from roofs to foundations. Graphic design and UX use proportion and symmetry geometrically. Navigation and GPS calculate position through triangulation — literally solving triangles. Even photo composition uses geometric ratios (the rule of thirds) to guide framing.

💡 Study tip

When a geometry problem stalls, redraw the figure bigger and with a ruler, even if it doesn't need to be perfect. Half of all geometry insight comes from simply seeing a relationship that wasn't visible in the small, cramped figure from the problem.

⚠️ Common mistake

Assuming a figure has a property just because it "looks" like it does — a triangle that looks like a right angle, or two segments that appear the same length in the drawing. In geometry, nothing counts unless it's given in the problem or proven from what was given. Proof figures are often drawn deliberately out of scale, exactly so you can't rely on your eye.

Fun fact

Euclid's "Elements" (around 300 BCE) built all of plane geometry from just 5 postulates — statements accepted without proof, from which everything else is logically derived. It was the most widely used math textbook in history, still in active circulation more than 2000 years later.

Practice

Question: A rectangle has a base of 12 cm and a diagonal of 13 cm. What is the rectangle's height?

Show answer

A rectangle's diagonal forms a right triangle with the base and height, so Pythagoras applies: base² + height² = diagonal².

12² + height² = 13²
144 + height² = 169
height² = 25
height = 5 cm

(This is the 5-12-13 triangle, one of the classic Pythagorean triples — worth recognizing by sight, along with 3-4-5.)

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Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

Do I need to memorize every area formula?

Memorize the rectangle ( $b \cdot h$ ) and the circle ( $π r^{2}$ ). A triangle is half a rectangle, a parallelogram is a “pushed” rectangle and a trapezoid is the average of the bases times the height: $\frac{( B + b ) \cdot h}{2}$ . Once you see where they come from, you will not forget them.

What is the difference between area and perimeter?

Perimeter is the distance around (a length, in cm or m). Area is the surface inside (in cm² or m²). Fencing a yard uses perimeter; laying grass uses area.

Why does

π

show up with circles?

Because in every circle the distance around divided by the diameter is always the same number, $π \approx 3.14$ . That gives $C = 2 π r$ and $A = π r^{2}$ .

Where does plane geometry show up on exams?

Math olympiads use it constantly (angles, shaded areas). The ENEM uses floor plans, tiles, land plots and scale drawings. On the SAT it is part of Geometry and Trigonometry; a formula sheet is provided, but you need to know how to use it.

← Study beforeIntro to algebra Study next →Trigonometry

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7º–9º ano

Geometria plana

Geometria plana com significado: ângulos, áreas e Pitágoras explicados com desenho, exemplos de prova e uma ferramenta para testar.

Geometria plana em 5 minutos

Quase toda questão de geometria plana usa só três ideias: os ângulos de um triângulo somam $180°$ , área é quantos quadradinhos de $1 \times 1$ cabem na figura e, em todo triângulo retângulo, $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Quem domina essas três resolve a maioria dos problemas desenhando a figura e escrevendo uma equação.

Regra 1

Soma dos ângulos

\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°

S_{n} = (n - 2) \cdot 180°

Num polígono de $n$ lados, a soma dos ângulos internos é $(n - 2) \cdot 180°$ : ele se divide em $n - 2$ triângulos.

Regra 2

Áreas principais

A_{□} = b \cdot h A_{△} = \frac{b \cdot h}{2}

A_{\circ} = π r^{2}

A altura $h$ é sempre perpendicular à base. O triângulo é metade de um retângulo de mesma base e altura.

Regra 3

Pitágoras

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Só em triângulo retângulo. $c$ é a hipotenusa, o lado oposto ao ângulo de $90°$ (o maior lado). Ternos famosos: 3‑4‑5, 5‑12‑13, 8‑15‑17.

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Um triângulo tem ângulos de $50°$ e $60°$ . Quanto mede o terceiro?

Qual é a área de um triângulo com base $10$ cm e altura $6$ cm?

Os catetos de um triângulo retângulo medem $6$ e $8$ . Quanto mede a hipotenusa?

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. Quanto vale a soma dos ângulos internos de um hexágono?

2. Um retângulo tem área $24$ cm² e um dos lados mede $6$ cm. Qual é o perímetro?

3. Qual é a área de um círculo de raio $3$ cm?

4. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede $13$ e um cateto mede $5$ . Quanto mede o outro cateto?

5. Uma sala retangular de $8$ m por $5$ m tem um armário embutido de $2$ m por $1$ m no chão. Qual é a área livre do piso?

6. Uma escada de $5$ m está apoiada num muro, com o pé a $3$ m da base do muro. A que altura ela toca o muro?

7. Se dobrarmos o lado de um quadrado, a área fica:

8. Um quadrado de lado $4$ tem um círculo inscrito (encostando nos quatro lados). Qual é a área da região do quadrado fora do círculo?

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · Área de figura composta

Um terreno tem a forma de um retângulo de $10$ m por $6$ m do qual foi retirado um canto retangular de $4$ m por $3$ m (formando um “L”). Qual é a área e qual é o perímetro do terreno?

Exemplo 2 · Pitágoras no mundo real

Uma escada de $10$ m está apoiada num muro, com o pé a $6$ m do muro. A que altura ela toca o muro? Se o pé da escada for afastado mais $2$ m, quanto o topo desce?

Exemplo 3 · Região sombreada

Um quadrado de lado $4$ cm tem um círculo inscrito. Qual é a área da parte do quadrado que fica fora do círculo? Use $π \approx 3, 14$ .

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Esquecer o “dividido por 2” do triângulo

✗ ErradoTriângulo de base

10

e altura

6

: área

= 60

✓ Certo

A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{60}{2} = 30

. O triângulo é metade do retângulo.

Teste: Área de um triângulo com base $7$ e altura $4$ ?

Usar o lado inclinado como altura

✗ ErradoParalelogramo de lados

8

5

(altura

4

): área

= 8 \cdot 5 = 40

✓ CertoA altura é a distância perpendicular entre as bases:

A = 8 \cdot 4 = 32

Teste: Um triângulo tem base $6$ , outro lado $5$ e altura $4$ em relação à base. Qual é a área?

Somar os catetos para achar a hipotenusa

✗ ErradoCatetos

3

4

: hipotenusa

= 3 + 4 = 7

✓ Certo

c = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

. Some os quadrados e só depois tire a raiz.

Teste: Catetos $5$ e $12$ : hipotenusa?

Achar que dobrar o lado dobra a área

✗ ErradoQuadrado de lado

3

(área

9

) → lado

6

: área

18

✓ CertoÁrea

= 6^{2} = 36

, ou seja,

4

vezes maior. Ampliar por

k

multiplica a área por

k^{2}

Teste: Uma pizza de $40$ cm de diâmetro tem quantas vezes a área de uma de $20$ cm?

Usar o diâmetro no lugar do raio

✗ ErradoCírculo de diâmetro

10

: área

= π \cdot 1 0^{2} = 100 π

✓ CertoO raio é metade do diâmetro:

r = 5

, então

A = 25 π

Teste: Área de um círculo de diâmetro $8$ ?

Experimente: área, perímetro e ampliação

Escolha uma figura, mexa nas medidas e veja a área e o perímetro. Depois amplie a figura e descubra por que a área cresce com o quadrado da escala.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo OBMEP

Os ângulos internos de um triângulo são proporcionais a $2$ , $3$ e $4$ . Quanto mede o maior deles?

Estilo ENEM

O piso de uma sala retangular de $6$ m por $4$ m será coberto com placas quadradas de $50$ cm de lado, sem sobras nem cortes. Quantas placas serão necessárias?

Estilo SAT

Um triângulo retângulo tem catetos de medidas $9$ e $12$ . Qual é o perímetro do triângulo?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Geometria plana estuda o que acontece quando você fixa algumas medidas e pergunta o que mais isso obriga a ser verdade. Se você sabe dois ângulos de um triângulo, o terceiro já está determinado — não é escolha, é consequência. Essa é a natureza da geometria: um pequeno conjunto de fatos (a soma dos ângulos internos, por exemplo) gera uma cascata de outros fatos que parecem novos mas são, na verdade, a mesma informação vista de outro ângulo — literalmente.

Por que isso importa

A soma dos ângulos internos de um triângulo dar sempre 180° não é uma coincidência nem uma regra arbitrária: é consequência direta de retas paralelas cortadas por uma transversal. Trace uma reta paralela a um dos lados do triângulo passando pelo vértice oposto, e os três ângulos do triângulo viram três ângulos consecutivos sobre essa reta — que somam 180° porque formam uma linha reta. Entender essa demonstração (não só decorar o resultado) é o que permite generalizar: um quadrilátero soma 360° porque pode ser cortado em dois triângulos.

Fórmula

Soma dos ângulos internos:
  Triângulo: 180°
  Quadrilátero: 360°
  Polígono de n lados: (n−2) × 180°

Ângulos e retas paralelas (transversal):
  correspondentes: iguais
  alternos internos: iguais
  colaterais internos: somam 180°

Área:
  Triângulo: (base × altura) / 2
  Retângulo: base × altura
  Círculo: π × r²

Teorema de Pitágoras (triângulo retângulo):
  a² + b² = c²   (c = hipotenusa)

Exemplo resolvido

Um triângulo tem ângulos de 55° e 70°. Qual o terceiro ângulo, e o triângulo é classificável por algum tipo especial?

Soma dos ângulos internos = 180°
180° − 55° − 70° = 55°

O terceiro ângulo é 55° — igual ao primeiro. Dois ângulos iguais significa dois lados iguais (o lado oposto a cada ângulo igual tem o mesmo tamanho), então esse é um triângulo isósceles, mesmo sem nenhuma medida de lado ter sido dada.

Onde isso aparece na vida real

Arquitetura e engenharia civil dependem de ângulos e áreas para tudo, de telhados a fundações. Design gráfico e UX usam proporção e simetria geometricamente. Navegação e GPS calculam posição com triangulação — literalmente resolvendo triângulos. Até enquadramento de fotografia usa razões geométricas (regra dos terços) para decidir composição.

💡 Dica de estudo

Quando um problema de geometria travar, desenhe a figura maior e com régua, mesmo que não precise ser perfeita. Metade dos insights de geometria vem de simplesmente enxergar uma relação que não estava óbvia na figura pequena e apertada do enunciado.

⚠️ Erro comum

Assumir que uma figura tem uma propriedade só porque "parece" ter — um triângulo que parece retângulo, ou dois segmentos que parecem do mesmo tamanho no desenho. Em geometria, nada vale sem estar dado no enunciado ou demonstrado a partir do que foi dado. Figuras de prova costumam ser desenhadas propositalmente fora de escala, exatamente para você não confiar no olho.

Curiosidade

Os "Elementos", de Euclides (cerca de 300 a.C.), organizou toda a geometria plana a partir de apenas 5 postulados — afirmações aceitas sem prova, das quais tudo mais é deduzido logicamente. Foi o livro-texto de matemática mais usado da história, ainda em circulação ativa mais de 2000 anos depois.

Pratique

Questão: Um retângulo tem base 12 cm e diagonal 13 cm. Qual é a altura do retângulo?

Ver resposta

A diagonal de um retângulo forma um triângulo retângulo com a base e a altura, então vale Pitágoras: base² + altura² = diagonal².

12² + altura² = 13²
144 + altura² = 169
altura² = 25
altura = 5 cm

(Esse é o triângulo 5-12-13, um dos ternos pitagóricos clássicos — vale a pena reconhecer de cor, junto com o 3-4-5.)

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Regras, exemplo resolvido e erros a evitar. Imprima ou guarde no celular.

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

Preciso decorar todas as fórmulas de área?

Decore o retângulo ( $b \cdot h$ ) e o círculo ( $π r^{2}$ ). O triângulo é metade do retângulo, o paralelogramo é um retângulo “empurrado” e o trapézio é a média das bases vezes a altura: $\frac{( B + b ) \cdot h}{2}$ . Entendendo de onde vêm, você não esquece.

Qual é a diferença entre área e perímetro?

Perímetro é o contorno (uma medida de comprimento, em cm ou m). Área é a superfície dentro (em cm² ou m²). Cercar um terreno usa perímetro; colocar grama usa área.

Por que o

π

aparece no círculo?

Porque em qualquer círculo o comprimento da volta dividido pelo diâmetro dá sempre o mesmo número, $π \approx 3, 14$ . Daí vêm $C = 2 π r$ e $A = π r^{2}$ .

Onde a geometria plana aparece nas provas?

Na OBMEP aparece em quase todas as provas (ângulos, áreas sombreadas). No ENEM, em plantas de casas, pisos, terrenos e escalas. No SAT, em Geometry and Trigonometry, com a folha de fórmulas disponível, mas é preciso saber usá-las.

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