Grades 7–8

Intro to algebra

Intro to algebra: understand what an equation is, solve it step by step like a balance scale and avoid the sign errors that cost points.

Intro to algebra in 5 minutes

Algebra is arithmetic with an open question. In $3 + x = 8$ , the letter $x$ holds a number we do not know yet. Solving means finding the value that makes the sentence true without guessing: by doing the same operation to both sides, like a balance scale that must stay level.

Rule 1

The balance

a = b \Rightarrow a + c = b + c

a = b \Rightarrow a \cdot c = b \cdot c

Add, subtract, multiply or divide both sides by the same number (divide only by a nonzero number).

Rule 2

Distributive property

a (b + c) = ab + a c

The number outside multiplies every term inside. With a minus sign: $- (x - 4) = - x + 4$ .

Rule 3

Like terms

3 x + 5 x = 8 x 2 x + 3 \neq = 5 x

Only terms with the same letter and the same exponent combine. Plain numbers combine with plain numbers.

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

Solve $2 x + 5 = 17$ .

$3 (x + 4)$ equals:

Simplify $4 x + 3 - x + 2$ .

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. Solve $x - 7 = 12$ .

2. Solve $\frac{x}{4} = 3$ .

3. Solve $5 x - 3 = 2 x + 9$ .

4. Solve $2 (x - 3) = 10$ .

5. What is the value of $3 a - 2 b$ when $a = 4$ and $b = - 1$ ?

6. Twice a number, plus 7, equals 25. What is the number?

7. Solve $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ .

8. Simplify $2 (3 x - 1) - (x - 4)$ .

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · The unknown on both sides

Solve $7 x - 4 = 3 x + 20$ .

Example 2 · From words to an equation

A number plus three times that number is 48. What is the number?

Example 3 · An equation with fractions

Solve $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ .

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Distributing to only one term

✗ Wrong

3 (x + 4) = 3 x + 4

✓ RightThe 3 multiplies both terms:

3 x + 12

Try it: Expand $5 (2 x - 3)$ .

The minus sign before parentheses

✗ Wrong

- (x - 4) = - x - 4

✓ RightThe minus flips the sign of every term:

- (x - 4) = - x + 4

Try it: Simplify $10 - (3 - x)$ .

Substituting a negative number without parentheses

✗ WrongFor

a = - 2

a^{2} = - 2^{2} = - 4

✓ RightAlways use parentheses:

a^{2} = (- 2)^{2} = 4

Try it: What is $x^{2} - x$ when $x = - 3$ ?

Combining unlike terms

✗ Wrong

2 x + 3 = 5 x

✓ Right

2 x

and

3

are not like terms:

2 x + 3

is already simplified.

Try it: Is $x + x + x$ equal to $x^{3}$ ?

Losing the sign when dividing

✗ Wrong

- 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

✓ RightDivide both sides by

- 2

, sign included:

x = \frac{8}{- 2} = - 4

Try it: Solve $- 3 x = - 15$ .

Try it: solve any linear equation

Build an equation of the form $a x + b = c x + d$ with the controls and watch every balancing step, with the check at the end.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

Math Olympiad style (OBMEP)

Today, Rita is three times as old as her son. In 12 years, she will be twice as old as him. How old is Rita today?

ENEM style

A phone plan charges a fixed $30.00 per month plus $0.50 per minute over the allowance. One month the bill was $47.50. How many minutes over the allowance were used?

SAT style

If $4 (x - 2) = 2 x + 6$ , what is the value of $x - 2$ ?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

Algebra is arithmetic with an open question. Instead of "what is 3 + 5," you get "3 + x = 8" — the same operation, but now one number has a name (x) instead of a value, and your job is to find which value makes the sentence true. An equation isn't an instruction to compute; it's a statement that can be true or false depending on x, and solving means finding exactly which values make it true.

Why it matters

The reason "whatever you do to one side, do to the other" works is that an equation is a balance in equilibrium. Adding 5 to both sides doesn't change whether the scale is balanced — it only changes the numbers sitting on it. That means solving an equation is never "moving numbers to the other side," even though it looks that way: it's always applying the same operation to both sides until x stands alone. Understanding this prevents the single most common mistake, which is flipping the sign when "moving something across" without understanding why that works.

Formula

Linear equation:  ax + b = c

Solving:
  ax = c − b
  x = (c − b) / a,  a ≠ 0

Distributive property:  a(b + c) = ab + ac

Sign rule:
  (+)×(+) = +     (+)×(−) = −
  (−)×(+) = −     (−)×(−) = +

Worked example

Solve: 4x − 7 = 2x + 9

The goal is to isolate x — gather all x-terms on one side, plain numbers on the other.

4x − 7 = 2x + 9
4x − 2x = 9 + 7 (subtracted 2x and added 7 to both sides)
2x = 16
x = 8

Check: 4(8) − 7 = 32 − 7 = 25. And 2(8) + 9 = 16 + 9 = 25. Both sides match — the equation was only true when x = 8.

Where this shows up in real life

Any "how much is left" or "how much do I need" situation: how long until you save a certain amount, how many units to sell to hit a target, what grade you need on the last test to pass. Programming uses algebra constantly in formulas and conditions. Engineering and physics describe almost everything as equations to solve.

💡 Study tip

Always check your answer by plugging the value back into the original equation. If both sides give the same number, x is correct — it's a 10-second check that saves you from turning in a wrong answer because of an arithmetic slip along the way.

⚠️ Common mistake

Multiplying only one term when applying the distributive property: turning 3(x + 4) into 3x + 4, forgetting to multiply the 4 too. The correct form is 3x + 12. This mistake is sneaky because the wrong result still looks like a reasonable expression — it only breaks when you test it with an actual value of x.

Fun fact

The word "algebra" comes from the Arabic al-jabr, which appears in the title of a book written by al-Khwarizmi in the 9th century and roughly means "reunion of broken parts" — a direct reference to moving terms across the sides of an equation. The mathematician's own name, Latinized, gave us the word "algorithm."

Practice

Question: Solve: 5(x − 2) = 3x + 4

Show answer

5(x − 2) = 3x + 4
5x − 10 = 3x + 4 (distributive property)
5x − 3x = 4 + 10 (gathering terms)
2x = 14
x = 7

Check: 5(7−2) = 5(5) = 25. And 3(7)+4 = 21+4 = 25. Confirmed.

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One-page summary (PDF)

Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

What is an equation?

It is an equality with an unknown value. It is not an instruction to compute: it states something that may be true or false depending on $x$ . Solving means finding the values that make it true.

Is “move it to the other side and change the sign” correct?

It is a shortcut for the balance rule: adding or subtracting the same number on both sides. It works, but students who understand the balance make far fewer mistakes, especially when multiplying or dividing by negatives.

How do I check my answer?

Substitute your value into the original equation and see if both sides give the same number. It takes 20 seconds and catches almost every sign error.

Where does algebra show up on exams?

Almost everywhere: age and money puzzles in math olympiads, utility bills and phone plans on the ENEM, and linear equations make up a large share of the SAT Algebra domain.

← Study beforeFractions and decimals Study next →Functions (linear, quadratic & more)

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7º–8º ano

Introdução à álgebra

Introdução à álgebra: entenda o que é uma equação, resolva passo a passo como numa balança e evite os erros de sinal que derrubam a nota.

Introdução à álgebra em 5 minutos

Álgebra é aritmética com uma pergunta em aberto. Em $3 + x = 8$ , a letra $x$ guarda um número que ainda não conhecemos. Resolver é descobrir que valor torna a frase verdadeira sem chutar: fazendo a mesma operação dos dois lados, como numa balança que precisa continuar equilibrada.

Regra 1

A balança

a = b \Rightarrow a + c = b + c

a = b \Rightarrow a \cdot c = b \cdot c

Some, subtraia, multiplique ou divida os dois lados pelo mesmo número (dividir, só por número diferente de zero).

Regra 2

Distributiva

a (b + c) = ab + a c

O número de fora multiplica todos os termos de dentro. Com sinal de menos: $- (x - 4) = - x + 4$ .

Regra 3

Termos semelhantes

3 x + 5 x = 8 x 2 x + 3 \neq = 5 x

Só se juntam termos com a mesma letra e o mesmo expoente. Número sozinho junta com número.

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Resolva $2 x + 5 = 17$ .

$3 (x + 4)$ é igual a:

Simplifique $4 x + 3 - x + 2$ .

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. Resolva $x - 7 = 12$ .

2. Resolva $\frac{x}{4} = 3$ .

3. Resolva $5 x - 3 = 2 x + 9$ .

4. Resolva $2 (x - 3) = 10$ .

5. Qual é o valor de $3 a - 2 b$ para $a = 4$ e $b = - 1$ ?

6. O dobro de um número, mais 7, dá 25. Qual é o número?

7. Resolva $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ .

8. Simplifique $2 (3 x - 1) - (x - 4)$ .

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · Incógnita dos dois lados

Resolva $7 x - 4 = 3 x + 20$ .

Exemplo 2 · Do texto para a equação

A soma de um número com o seu triplo é 48. Qual é o número?

Exemplo 3 · Equação com frações

Resolva $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ .

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Distributiva pela metade

✗ Errado

3 (x + 4) = 3 x + 4

✓ CertoO 3 multiplica os dois termos:

3 x + 12

Teste: Desenvolva $5 (2 x - 3)$ .

O menos antes do parêntese

✗ Errado

- (x - 4) = - x - 4

✓ CertoO menos troca o sinal de todos os termos:

- (x - 4) = - x + 4

Teste: Simplifique $10 - (3 - x)$ .

Substituir número negativo sem parênteses

✗ ErradoPara

a = - 2

a^{2} = - 2^{2} = - 4

✓ CertoSempre com parênteses:

a^{2} = (- 2)^{2} = 4

Teste: Quanto vale $x^{2} - x$ para $x = - 3$ ?

Juntar termos diferentes

✗ Errado

2 x + 3 = 5 x

✓ Certo

2 x

3

não são semelhantes:

2 x + 3

já está simplificado.

Teste: $x + x + x$ é igual a $x^{3}$ ?

Perder o sinal ao dividir

✗ Errado

- 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

✓ CertoDivida os dois lados por

- 2

, com o sinal:

x = \frac{8}{- 2} = - 4

Teste: Resolva $- 3 x = - 15$ .

Experimente: resolva qualquer equação do 1º grau

Monte uma equação do tipo $a x + b = c x + d$ com os controles e veja cada passo da balança, com a conferência no final.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo OBMEP

Hoje, a idade de Rita é o triplo da idade de seu filho. Daqui a 12 anos, será o dobro. Quantos anos Rita tem hoje?

Estilo ENEM

Um plano de celular cobra R$ 30,00 fixos por mês mais R$ 0,50 por minuto além da franquia. Em um mês, a conta foi de R$ 47,50. Quantos minutos além da franquia foram usados?

Estilo SAT

Se $4 (x - 2) = 2 x + 6$ , qual é o valor de $x - 2$ ?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Álgebra é aritmética com uma pergunta em aberto. Em vez de "quanto é 3 + 5", você tem "3 + x = 8" — a mesma operação, mas agora um dos números tem um nome (x) em vez de um valor, e seu trabalho é descobrir qual valor faz a frase ser verdadeira. Uma equação não é uma instrução para calcular; é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa dependendo do valor de x, e resolver é achar exatamente para quais valores ela é verdadeira.

Por que isso importa

O motivo de "o que você faz de um lado, faz do outro" funcionar é que uma equação é uma balança em equilíbrio. Somar 5 aos dois lados não muda se a balança está equilibrada — só muda os números que estão nela. Isso significa que resolver uma equação nunca é "mexer números de lado", mesmo que pareça: é sempre aplicar a mesma operação aos dois lados até que x fique sozinho. Entender isso evita o erro mais comum de todos, que é trocar o sinal ao "passar para o outro lado" sem entender por que isso funciona.

Fórmula

Equação de primeiro grau:  ax + b = c

Resolução:
  ax = c − b
  x = (c − b) / a,  a ≠ 0

Propriedade distributiva:  a(b + c) = ab + ac

Regra do sinal:
  (+)×(+) = +     (+)×(−) = −
  (−)×(+) = −     (−)×(−) = +

Exemplo resolvido

Resolva: 4x − 7 = 2x + 9

O objetivo é isolar x — reunir todos os termos com x de um lado, e os números do outro.

4x − 7 = 2x + 9
4x − 2x = 9 + 7 (subtraí 2x e somei 7 dos dois lados)
2x = 16
x = 8

Verificação: 4(8) − 7 = 32 − 7 = 25. E 2(8) + 9 = 16 + 9 = 25. Os dois lados batem — a equação era mesmo verdadeira só quando x = 8.

Onde isso aparece na vida real

Qualquer situação de "quanto falta" ou "quanto preciso": quanto tempo até juntar certa quantia, quantos produtos vender para bater uma meta, que nota falta tirar na última prova para fechar a média. Programação usa álgebra o tempo todo em fórmulas e condições. Engenharia e física descrevem praticamente tudo como equações a resolver.

💡 Dica de estudo

Sempre confira a resposta substituindo o valor de volta na equação original. Se os dois lados derem o mesmo número, x está certo — é uma conferência de 10 segundos que evita entregar uma resposta errada por erro de conta no meio do caminho.

⚠️ Erro comum

Multiplicar só um termo ao aplicar a distributiva: transformar 3(x + 4) em 3x + 4, esquecendo de multiplicar o 4 também. O correto é 3x + 12. Esse erro é traiçoeiro porque o resultado errado ainda parece uma expressão razoável — só falha quando você testa com um valor de x.

Curiosidade

A palavra "álgebra" vem do árabe al-jabr, que aparece no título de um livro escrito por al-Khwarizmi no século IX e significa, aproximadamente, "reunião de partes quebradas" — uma referência direta à operação de mover termos entre os lados de uma equação. O próprio nome do matemático, latinizado, deu origem à palavra "algoritmo".

Pratique

Questão: Resolva: 5(x − 2) = 3x + 4

Ver resposta

5(x − 2) = 3x + 4
5x − 10 = 3x + 4 (distributiva)
5x − 3x = 4 + 10 (reunindo termos)
2x = 14
x = 7

Verificação: 5(7−2) = 5(5) = 25. E 3(7)+4 = 21+4 = 25. Confere.

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Resumo de 1 página (PDF)

Regras, exemplo resolvido e erros a evitar. Imprima ou guarde no celular.

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

O que é uma equação?

É uma igualdade com um valor desconhecido. Ela não manda calcular nada: ela afirma algo que pode ser verdadeiro ou falso dependendo do valor de $x$ . Resolver é achar os valores que a tornam verdadeira.

“Passar para o outro lado trocando o sinal” está certo?

É um atalho para a regra da balança: somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados. Funciona, mas quem entende a balança erra muito menos, principalmente com multiplicação e divisão por negativos.

Como conferir se a resposta está certa?

Substitua o valor encontrado na equação original e veja se os dois lados dão o mesmo número. Leva 20 segundos e pega quase todos os erros de sinal.

Onde a álgebra aparece nas provas?

Em quase tudo: problemas de idade e de dinheiro na OBMEP, contas de luz e planos de celular no ENEM, e equações lineares são a maior parte da seção de Álgebra do SAT.

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