SAT

Functions (linear, quadratic & more)

Linear and quadratic functions that make sense: slope, intercepts, the quadratic formula and the vertex, explained with interactive graphs and exam-style questions.

Functions (linear, quadratic & more) in 5 minutes

A function is a rule that turns each input $x$ into an output $y$ . In a linear function ( $y = a x + b$ ) the output changes at a constant rate: the graph is a line, and $a$ is how much $y$ rises when $x$ increases by $1$ . In a quadratic function ( $y = a x^{2} + b x + c$ ) the rate changes: the graph is a parabola, with a highest or lowest point, the vertex.

Rule 1

Linear function

f (x) = a x + b a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

$a$ is the slope (rate of change); $b$ is where the line crosses the $y$ -axis. The zero (where it crosses the $x$ -axis) is $x = - \frac{b}{a}$ .

Rule 2

Quadratic zeros

x = \frac{- b \pm Δ}{2 a} Δ = b^{2} - 4 a c

$Δ > 0$ : two real zeros; $Δ = 0$ : one (double) zero; $Δ < 0$ : no real zeros. Shortcut: the zeros add to $- \frac{b}{a}$ and multiply to $\frac{c}{a}$ .

Rule 3

Vertex

x_{v} = - \frac{b}{2 a} y_{v} = f (x_{v}) = - \frac{Δ}{4 a}

$a > 0$ : the parabola opens up and the vertex is the minimum. $a < 0$ : it opens down and the vertex is the maximum. $x_{v}$ is halfway between the two zeros.

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

If $f (x) = 3 x - 2$ , what is $f (4)$ ?

What is the slope of the line through $(1, 3)$ and $(3, 7)$ ?

What are the zeros of $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ?

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. A taxi charges a $ $5.00$ base fare plus $ $2.50$ per km. How much does an $8$ km ride cost?

2. What is the zero of $f (x) = - 2 x + 8$ ?

3. How many real zeros does $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ have?

4. What are the solutions of $2 x^{2} - 8 = 0$ ?

5. What is the vertex of $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ ?

6. A ball’s height, in meters, is $h (t) = - 5 t^{2} + 30 t$ , with $t$ in seconds. What is the maximum height?

7. Plan A costs $50 + 2 x$ dollars and plan B costs $30 + 4 x$ dollars, where $x$ is the number of hours. Beyond how many hours is plan A cheaper?

8. If $f (x) = a x^{2} + b x + c$ has $a < 0$ and $Δ < 0$ , the graph:

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · When one plan becomes cheaper

Gym A charges a $ $100$ sign-up fee and $ $80$ per month. Gym B has no sign-up fee but charges $ $100$ per month. After how many months is gym A cheaper?

Example 2 · The quadratic formula start to finish

Solve $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ .

Example 3 · Maximum height of a throw

A ball is thrown upward and its height, in meters, is $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ , with $t$ in seconds. What is the maximum height and when does it happen? When does the ball return to its launch height?

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Flipping the slope formula

✗ WrongFrom

(1, 3)

(3, 7)

a = \frac{3 - 1}{7 - 3} = \frac{1}{2}

✓ RightSlope is change in

y

over change in

x

\frac{7 - 3}{3 - 1} = 2

Try it: Slope of the line through $(2, 1)$ and $(6, 9)$ ?

Getting the sign of $- b$ wrong

✗ Wrong

x^{2} - 5 x + 6 = 0

x = \frac{- 5 \pm 1}{2}

, zeros

- 2

and

- 3

✓ Right

b = - 5

, so

- b = + 5

x = \frac{5 \pm 1}{2}

, zeros

2

and

3

Try it: Zeros of $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ ?

Forgetting the negative root

✗ Wrong

x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3

✓ Right

x = \pm 3

: both

3^{2}

and

(- 3)^{2}

equal

9

Try it: Solutions of $x^{2} - 16 = 0$ ?

Dividing by $x$ and losing the zero root

✗ Wrong

x^{2} = 5 x \Rightarrow x = 5

✓ RightFactor instead of dividing:

x (x - 5) = 0

, so

x = 0

x = 5

Try it: Solutions of $3 x^{2} = 12 x$ ?

Confusing the intercept with the zero

✗ Wrong

f (x) = 2 x + 6

crosses the

x

-axis at

6

✓ Right

b = 6

is where it crosses the

y

-axis, at

(0, 6)

. The zero is

2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 3

Try it: Where does $f (x) = - 3 x + 12$ cross each axis?

Try it: move the coefficients

Drag the sliders and see instantly how $a$ , $b$ and $c$ change the line and the parabola: slope, intercepts, zeros, $Δ$ and the vertex.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

ENEM style

A small factory has a monthly cost of $C (x) = 2, 000 + 15 x$ dollars to make $x$ units, and sells each unit for $ $40$ . What is the minimum number of units it must sell per month to avoid a loss?

Entrance-exam style

The parabola $y = x^{2} - 4 x + k$ is tangent to the $x$ -axis (touches it at exactly one point). The value of $k$ is:

SAT style

The function $f$ is defined by $f (x) = (x - 3) (x + 5)$ . What is the $x$ -coordinate of the vertex of the graph of $y = f (x)$ in the $x y$ -plane?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

A function is a rule-machine: for every input, it returns exactly one output, always through the same rule. f(x) = 2x + 3 isn't "a calculation" — it's a promise that for any x you pick, there exists one and only one result determined by that formula. A linear function (a line) changes at a constant rate; a quadratic function (a parabola) changes at a rate that itself changes — and that second layer of variation is what gives the parabola its characteristic curve.

Why it matters

A line's slope (the "a" in y = ax + b) isn't a decorative number — it's literally the answer to "how much does y change when x changes by 1," and it's constant across the whole line because a line IS the curve of constant rate of change. In a parabola, that rate changes point by point, and the vertex is exactly where that rate flips from positive to negative (or vice versa) — the instant of direction change. Understanding the vertex as "where the rate of change hits zero" previews differential calculus years before you ever see the word "derivative."

Formula

Linear function:  f(x) = ax + b
  a = slope
  b = y-intercept

Quadratic function:  f(x) = ax² + bx + c

Roots (quadratic formula):
  x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Parabola vertex:
  xᵥ = −b/2a
  yᵥ = −Δ/4a   (Δ = b² − 4ac)

Worked example

Find the roots of f(x) = x² − 5x + 6.

a=1, b=−5, c=6
Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1

x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2

x₁ = 6/2 = 3
x₂ = 4/2 = 2

Check: if x=3, f(3) = 9−15+6 = 0 ✓. If x=2, f(2) = 4−10+6 = 0 ✓. The roots 2 and 3 are exactly where the parabola crosses the x-axis.

Where this shows up in real life

Physics describes projectile motion as a quadratic function (gravity creates the curvature). Economics uses linear functions for fixed-plus-variable cost, and quadratics to maximize profit. Any "constant rate" situation (taxi fare, phone plan) is a linear function. Optimization of any kind — most area with least material, lowest cost — usually comes down to finding a parabola's vertex.

💡 Study tip

Before reaching for the quadratic formula, check whether the expression factors by inspection: if the roots are small integers, you can often spot two numbers that multiply to c and add to b, without setting up the full formula. It's faster and cuts down on arithmetic slips.

⚠️ Common mistake

Forgetting the ± in the quadratic formula and reporting only one root when two exist. A parabola can cross the x-axis at two points, touch it at exactly one (Δ=0), or never cross it (Δ<0) — and the sign of Δ tells you which of these three cases you're solving before you even finish the calculation.

Fun fact

The quadratic formula is commonly attributed to the Hindu mathematician Bhaskara (12th century), but equivalent versions already appeared on Babylonian tablets written nearly 4000 years earlier — just described in words and geometric steps, without the algebraic notation we use today. The name we give the formula is, in fact, far more recent than the mathematics it describes.

Practice

Question: A ball is thrown, and its height in meters is given by h(t) = −5t² + 20t, where t is time in seconds. At what instant does the ball reach maximum height, and what is that height?

Show answer

The instant of maximum height is the parabola's vertex (a=−5 is negative, so the parabola opens downward and the vertex is the highest point).

tᵥ = −b/2a = −20/(2×(−5)) = −20/−10 = 2 seconds

Maximum height: h(2) = −5(2)² + 20(2) = −20 + 40 = 20 meters

The ball reaches 20 meters after 2 seconds.

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Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

How do I spot a linear function in a table?

When $x$ goes up by $1$ each time, the $y$ values always change by the same amount: that amount is $a$ . If the differences change but the differences of the differences are constant, it is quadratic.

Do I always need the quadratic formula?

No. If $c$ is missing ( $x^{2} = 5 x$ ), factor out $x$ . If $b$ is missing ( $x^{2} = 9$ ), isolate $x^{2}$ and use $\pm$ . If the zeros are integers, sum and product are usually faster. The formula is the plan that always works.

What does the slope mean in a real problem?

It is the rate: dollars per km for a taxi, liters per minute from a tap, km per hour on a trip. $b$ is the starting value, when $x = 0$ (base fare, fixed fee, initial amount). Interpreting $a$ and $b$ is a favorite SAT and ENEM question.

Where do functions show up on exams?

ENEM: phone plans, cost and profit, line and parabola graphs. Brazilian entrance exams: vertex, $Δ$ and sign analysis. SAT: Algebra (linear functions) and Advanced Math (quadratics) make up most of the math section.

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SAT

Funções (1º, 2º grau e afins)

Funções do 1º e do 2º grau com significado: inclinação, intercepto, Bhaskara e vértice explicados com gráficos interativos e questões de ENEM, vestibular e SAT.

Funções (1º, 2º grau e afins) em 5 minutos

Uma função é uma regra que transforma cada entrada $x$ em uma saída $y$ . Na função do 1º grau ( $y = a x + b$ ) a saída muda sempre no mesmo ritmo: o gráfico é uma reta, e $a$ é quanto $y$ sobe quando $x$ aumenta $1$ . Na função do 2º grau ( $y = a x^{2} + b x + c$ ) o ritmo muda: o gráfico é uma parábola, com um ponto de máximo ou de mínimo, o vértice.

Regra 1

Função do 1º grau

f (x) = a x + b a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

$a$ é a inclinação (taxa de variação); $b$ é onde a reta corta o eixo $y$ . A raiz (onde corta o eixo $x$ ) é $x = - \frac{b}{a}$ .

Regra 2

Raízes do 2º grau

x = \frac{- b \pm Δ}{2 a} Δ = b^{2} - 4 a c

$Δ > 0$ : duas raízes reais; $Δ = 0$ : uma raiz (dupla); $Δ < 0$ : nenhuma raiz real. Atalho: soma das raízes $= - \frac{b}{a}$ e produto $= \frac{c}{a}$ .

Regra 3

Vértice

x_{v} = - \frac{b}{2 a} y_{v} = f (x_{v}) = - \frac{Δ}{4 a}

$a > 0$ : parábola “sorrindo”, o vértice é o mínimo. $a < 0$ : “triste”, o vértice é o máximo. O $x_{v}$ fica no meio das duas raízes.

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Se $f (x) = 3 x - 2$ , quanto vale $f (4)$ ?

Qual é a inclinação da reta que passa por $(1, 3)$ e $(3, 7)$ ?

Quais são as raízes de $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ?

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. Um táxi cobra R$ $5, 00$ de bandeirada mais R$ $2, 50$ por km. Quanto custa uma corrida de $8$ km?

2. Qual é a raiz de $f (x) = - 2 x + 8$ ?

3. Quantas raízes reais tem $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ ?

4. Quais são as soluções de $2 x^{2} - 8 = 0$ ?

5. Qual é o vértice de $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ ?

6. A altura de uma bola, em metros, é $h (t) = - 5 t^{2} + 30 t$ , com $t$ em segundos. Qual é a altura máxima?

7. O plano A custa $50 + 2 x$ reais e o plano B custa $30 + 4 x$ reais, em que $x$ é o número de horas. A partir de quantas horas o plano A fica mais barato?

8. Se em $f (x) = a x^{2} + b x + c$ temos $a < 0$ e $Δ < 0$ , o gráfico:

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · Quando um plano fica mais barato

A academia A cobra R$ $100$ de matrícula e R$ $80$ por mês. A academia B não cobra matrícula, mas cobra R$ $100$ por mês. A partir de quantos meses a academia A sai mais barata?

Exemplo 2 · Bhaskara do começo ao fim

Resolva $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ .

Exemplo 3 · Altura máxima de um lançamento

Uma bola é lançada para cima e sua altura, em metros, é $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ , com $t$ em segundos. Qual é a altura máxima e em que instante ela ocorre? Quando a bola volta à altura de lançamento?

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Inverter a fórmula da inclinação

✗ ErradoDe

(1, 3)

(3, 7)

a = \frac{3 - 1}{7 - 3} = \frac{1}{2}

✓ CertoInclinação é variação de

y

sobre variação de

x

\frac{7 - 3}{3 - 1} = 2

Teste: Inclinação da reta por $(2, 1)$ e $(6, 9)$ ?

Errar o sinal de $- b$ em Bhaskara

✗ Errado

x^{2} - 5 x + 6 = 0

x = \frac{- 5 \pm 1}{2}

, raízes

- 2

- 3

✓ Certo

b = - 5

, então

- b = + 5

x = \frac{5 \pm 1}{2}

, raízes

2

3

Teste: Raízes de $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ ?

Esquecer a raiz negativa

✗ Errado

x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3

✓ Certo

x = \pm 3

: tanto

3^{2}

quanto

(- 3)^{2}

dão

9

Teste: Soluções de $x^{2} - 16 = 0$ ?

Dividir por $x$ e perder a raiz zero

✗ Errado

x^{2} = 5 x \Rightarrow x = 5

✓ CertoFatore em vez de dividir:

x (x - 5) = 0

, então

x = 0

x = 5

Teste: Soluções de $3 x^{2} = 12 x$ ?

Confundir o intercepto com a raiz

✗ Errado

f (x) = 2 x + 6

corta o eixo

x

6

✓ Certo

b = 6

é onde corta o eixo

y

, no ponto

(0, 6)

. A raiz é

2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 3

Teste: Onde $f (x) = - 3 x + 12$ corta cada eixo?

Experimente: mexa nos coeficientes

Arraste os controles e veja na hora como $a$ , $b$ e $c$ mudam a reta e a parábola: inclinação, interceptos, raízes, $Δ$ e vértice.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo ENEM

Uma pequena fábrica tem custo mensal $C (x) = 2000 + 15 x$ reais para produzir $x$ unidades, e vende cada unidade por R$ $40, 00$ . Qual é a quantidade mínima de unidades que precisa vender por mês para não ter prejuízo?

Estilo vestibular

A parábola $y = x^{2} - 4 x + k$ tangencia o eixo $x$ (toca-o em um único ponto). O valor de $k$ é:

Estilo SAT

A função $f$ é definida por $f (x) = (x - 3) (x + 5)$ . Qual é a coordenada $x$ do vértice do gráfico de $y = f (x)$ no plano $x y$ ?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Uma função é uma máquina de regras: para cada entrada, ela devolve exatamente uma saída, sempre pela mesma regra. f(x) = 2x + 3 não é "uma conta" — é uma promessa de que, para qualquer x que você escolher, existe um e só um resultado determinado por essa fórmula. Função de primeiro grau (reta) muda a uma taxa constante; função de segundo grau (parábola) muda a uma taxa que ela mesma muda — e é essa segunda camada de variação que dá à parábola sua curva característica.

Por que isso importa

O coeficiente angular de uma reta (o "a" em y = ax + b) não é um número decorativo — é literalmente a resposta para "quanto y muda quando x muda 1 unidade", e é constante em toda reta porque reta É a curva de taxa de variação constante. Na parábola, essa taxa muda ponto a ponto, e o vértice é exatamente onde essa taxa passa de positiva para negativa (ou vice-versa) — o instante de mudança de direção. Entender vértice como "onde a taxa de variação zera" antecipa cálculo diferencial anos antes de você ver a palavra "derivada".

Fórmula

Função afim (1º grau):  f(x) = ax + b
  a = coeficiente angular (inclinação)
  b = coeficiente linear (onde corta o eixo y)

Função quadrática (2º grau):  f(x) = ax² + bx + c

Raízes (fórmula de Bhaskara):
  x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Vértice da parábola:
  xᵥ = −b/2a
  yᵥ = −Δ/4a   (Δ = b² − 4ac)

Exemplo resolvido

Encontre as raízes de f(x) = x² − 5x + 6.

a=1, b=−5, c=6
Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1

x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2

x₁ = 6/2 = 3
x₂ = 4/2 = 2

Verificação: se x=3, f(3) = 9−15+6 = 0 ✓. Se x=2, f(2) = 4−10+6 = 0 ✓. As raízes 2 e 3 são exatamente onde a parábola cruza o eixo x.

Onde isso aparece na vida real

Física descreve trajetória de projétil como função quadrática (a gravidade cria a curvatura). Economia usa função linear para custo fixo mais variável, e quadrática para maximizar lucro. Qualquer situação de "taxa constante" (tarifa de táxi, plano de celular) é função afim. Otimização de qualquer tipo — maior área com menor material, menor custo — costuma recair em achar o vértice de uma parábola.

💡 Dica de estudo

Antes de aplicar Bhaskara, veja se a expressão fatora de cabeça: se as raízes forem números inteiros pequenos, muitas vezes dá para achar dois números que multiplicados dão c e somados dão b, sem montar a fórmula toda. É mais rápido e reduz chance de erro de conta.

⚠️ Erro comum

Esquecer o ± na fórmula de Bhaskara e reportar só uma raiz quando existem duas. Uma parábola pode cruzar o eixo x em dois pontos, tocar em um só (Δ=0), ou não cruzar (Δ<0) — e o sinal de Δ é o que determina qual desses três casos você está resolvendo antes mesmo de terminar a conta.

Curiosidade

A fórmula de resolução da equação quadrática é atribuída no Brasil ao matemático hindu Bhaskara (século XII), mas versões equivalentes já apareciam em tábuas babilônicas escritas quase 4000 anos antes — só que descritas em palavras e passos geométricos, sem a notação algébrica que usamos hoje. A "fórmula de Bhaskara" é, na verdade, um nome bem mais recente que a própria matemática que ela descreve.

Pratique

Questão: Uma bola é lançada e sua altura, em metros, é dada por h(t) = −5t² + 20t, onde t é o tempo em segundos. Em que instante a bola atinge a altura máxima, e qual é essa altura?

Ver resposta

O instante de altura máxima é o vértice da parábola (a=−5 é negativo, então a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto).

tᵥ = −b/2a = −20/(2×(−5)) = −20/−10 = 2 segundos

Altura máxima: h(2) = −5(2)² + 20(2) = −20 + 40 = 20 metros

A bola atinge 20 metros de altura após 2 segundos.

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

Como reconhecer uma função do 1º grau numa tabela?

Quando $x$ aumenta de $1$ em $1$ , os valores de $y$ aumentam (ou diminuem) sempre a mesma quantidade: essa quantidade é $a$ . Se as diferenças mudam, mas as diferenças das diferenças são constantes, é do 2º grau.

Sempre preciso usar Bhaskara?

Não. Se falta o $c$ ( $x^{2} = 5 x$ ), fatore colocando $x$ em evidência. Se falta o $b$ ( $x^{2} = 9$ ), isole $x^{2}$ e use $\pm$ . Se as raízes são inteiras, soma e produto costumam ser mais rápidos. Bhaskara é o plano que sempre funciona.

O que a inclinação significa num problema real?

É a taxa: reais por km no táxi, litros por minuto numa torneira, km por hora na viagem. O $b$ é o valor inicial, quando $x = 0$ (bandeirada, taxa fixa, quantidade inicial). Interpretar $a$ e $b$ é uma das perguntas favoritas do SAT e do ENEM.

Onde funções aparecem nas provas?

No ENEM: planos de telefone, custo e lucro, gráficos de reta e de parábola. Nos vestibulares: vértice, $Δ$ e estudo de sinal. No SAT: Algebra (funções lineares) e Advanced Math (quadráticas) somam a maior parte da prova de matemática.

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Dividir por x e perder a raiz zero

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Dividing by $x$ and losing the zero root

Errar o sinal de $- b$ em Bhaskara

Dividir por $x$ e perder a raiz zero