SAT

Logarithms and exponentials

The essentials of logarithms and exponentials: get the idea, solve exam questions and avoid the mistakes that cost points.

Logarithms and exponentials in 5 minutes

A logarithm is the reverse question of a power. Instead of asking “what is $2^{5}$ ?”, it asks “what exponent turns 2 into 32?”. That is why $lo g_{2} 32 = 5$ . Every logarithm problem starts by rewriting the log as a power.

Rule 1

Definition

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

For $a > 0$ , $a \neq = 1$ and $b > 0$ . When in doubt, rewrite it as a power.

Rule 2

Product, quotient and power

lo g (x y) = lo g x + lo g y

lo g x^{n} = n lo g x

Also $lo g \frac{x}{y} = lo g x - lo g y$ . Multiplication becomes addition; an exponent becomes a factor.

Rule 3

Change of base

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}

Use it to compute any log on a calculator and to solve $a^{x} = b$ : $x = lo g_{a} b$ .

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

What is $lo g_{3} 81$ ?

What is $lo g 2 + lo g 5$ (base 10)?

If $2^{x} = 7$ , then $x$ equals:

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. $lo g_{5} 125$ equals:

2. $lo g_{2} \frac{1}{8}$ equals:

3. $lo g_{7} 1$ equals:

4. Using $lo g 2 \approx 0.30$ and $lo g 3 \approx 0.48$ , what is $lo g 12$ approximately?

5. Solve $3^{x + 1} = 27$ .

6. Solve $lo g_{2} (x - 1) = 3$ .

7. A population doubles every 5 years. In how many years does it become 8 times larger?

8. Solve $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ .

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · Logarithmic equation

Solve $lo g_{3} (2 x + 1) = 2$ .

Example 2 · Bases that are powers of the same number

Find $lo g_{4} 8$ .

Example 3 · Compound interest: how long until money doubles?

An investment earns 10% per year, compounded yearly. How many years until the value doubles? Use $lo g 2 \approx 0.301$ and $lo g 1.1 \approx 0.0414$ .

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Splitting the log of a sum

✗ Wrong

lo g (a + b) = lo g a + lo g b

✓ RightThe rule is for a product:

lo g (ab) = lo g a + lo g b

. The log of a sum does not simplify.

Try it: Is $lo g (1 + 1)$ equal to $lo g 1 + lo g 1$ ?

Raising the log instead of multiplying

✗ Wrong

lo g x^{n} = (lo g x)^{n}

✓ RightThe exponent comes down as a factor:

lo g x^{n} = n lo g x

Try it: Find $lo g 100 0^{2}$ .

Forgetting the domain

✗ WrongSolving the equation and keeping every root.

✓ RightThe argument of a log must be positive. Test every root in the original equation.

Try it: In $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ you get $x = 4$ and $x = - 2$ . Which one stays?

Mixing up a ratio of logs and the log of a ratio

✗ Wrong

\frac{lo g a}{lo g b} = lo g \frac{a}{b}

✓ Right

lo g \frac{a}{b} = lo g a - lo g b

. And

\frac{l o g a}{l o g b}

is a change of base:

lo g_{b} a

Try it: What is $\frac{lo g 100}{lo g 10}$ ?

Getting the logs of 1 and 0 wrong

✗ Wrong

lo g_{a} 1 = 1

lo g_{a} 0 = 0

✓ Right

lo g_{a} 1 = 0

, because

a^{0} = 1

. And

lo g_{a} 0

does not exist: no power of

a

equals zero. The one equal to 1 is

lo g_{a} a

Try it: What is $lo g_{9} 1 + lo g_{9} 9$ ?

Try it: the logarithm undoes the power

Change the base and watch the exponential and the logarithm mirror each other. In the second tab, find out how long a value takes to double with compound interest.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

ENEM style

A bacteria culture has population $P (t) = 500 \cdot 2^{t /3}$ , with $t$ in hours. After how many hours does the population reach 8,000 bacteria?

Entrance-exam style

If $lo g_{a} 2 = m$ and $lo g_{a} 3 = n$ , then $lo g_{a} 18$ equals:

SAT style

The function $f (t) = 1200 (0.85)^{t}$ gives the value, in dollars, of a machine $t$ years after it was bought. Which statement is true?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

An exponential function (f(x) = aˣ) describes growth where the rate of increase is proportional to the current size — the bigger it already is, the faster it grows. A logarithm is the reverse question: "to what exponent do I raise this base to get that result?" log₂(8) = 3 because 2³ = 8 — they're literally the same relationship, just read in opposite directions. Where exponential answers "how much is this worth after growing," logarithm answers "how long did it take to grow this much."

Why it matters

The logarithm's most useful property — log(a×b) = log(a) + log(b) — isn't a coincidence, it's the historical reason logarithms were invented: turning multiplication (hard to do by hand with big numbers) into addition (easy). Before calculators existed, multiplying two six-digit numbers by logarithm meant looking up two values in a table, adding them, and looking the result back up — far faster than long multiplication. That's also why logarithmic scales (Richter, decibel, pH) exist: they compress a huge range of multiplicative values into a small, addable interval.

Formula

Definition:  logₐ(b) = c   ⟺   aᶜ = b   (a>0, a≠1, b>0)

Properties:
  log(a×b) = log(a) + log(b)
  log(a/b) = log(a) − log(b)
  log(aⁿ) = n × log(a)
  logₐ(a) = 1
  logₐ(1) = 0

Change of base:
  logₐ(b) = log(b) / log(a)

Exponential function:  f(x) = a × bˣ  (growth if b>1, decay if 0<b<1)

Worked example

Solve: log₂(x) = 5

By definition, this means 2⁵ = x.

2⁵ = 32

x = 32

Check by definition: log₂(32) asks "2 raised to what gives 32?" Since 2⁵=32, the answer is 5 — matching the original statement.

Where this shows up in real life

The earthquake Richter scale and sound decibels are logarithmic — a magnitude 6 earthquake releases 10 times more energy than a magnitude 5, not "a bit more." Population growth, compound interest, and radioactive decay are exponential. Computer science constantly uses logarithms to measure search algorithm efficiency. pH in chemistry is literally a logarithm of ion concentration.

💡 Study tip

Whenever you see an equation with x in the exponent, the first question is "can both sides be written with the same base?" If so, the exponents can be set equal directly, no logarithm needed — it's the fastest route whenever it's available.

⚠️ Common mistake

Thinking log(a+b) = log(a) + log(b). The sum-of-logs property applies to MULTIPLICATION inside the log, not addition. log(a+b) has no simplified form — this is a common mistake because the product rule (log(a×b)=log(a)+log(b)) looks visually similar but applies to a different operation.

Fun fact

Before electronic calculators, engineers and scientists did complex math using slide rules — mechanical devices built entirely on logarithmic scales, which turned multiplication into simply adding two physical lengths. The slide rule was standard engineering equipment for over 300 years, including the calculations that put a man on the Moon in 1969.

Practice

Question: Solve: 3ˣ = 81

Show answer

Write 81 as a power of 3: 81 = 3⁴

3ˣ = 3⁴

Since the bases match, the exponents must match:
x = 4

Check: 3⁴ = 3×3×3×3 = 81 ✓

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Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

What is a logarithm, in simple words?

It is the missing exponent. $lo g_{2} 8$ asks “2 to what power gives 8?”, and the answer is 3. The logarithm is the inverse of a power, just as a square root is the inverse of squaring.

What are logarithms used for in real life?

To find times in exponential processes (how long an investment takes to double, the age of a fossil by carbon-14) and to measure quantities that vary enormously, on logarithmic scales: pH, decibels and earthquake magnitude.

What is the difference between log, ln and

lo g_{a}

$lo g$ with no base written means base 10. $ln$ is the natural log, base $e \approx 2.718$ . $lo g_{a}$ is the log in base $a$ . They all follow the same rules, and the change-of-base rule converts one into another.

Do logarithms show up on the ENEM and the SAT?

On the ENEM and Brazilian entrance exams, yes: in exponential functions, interest and scales such as pH and Richter. On the SAT, exponential functions are common (growth, decay, percentages), but explicit logarithms are rare.

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SAT

Logaritmos e exponenciais

O essencial de logaritmos e exponenciais: entenda a ideia, resolva questões de prova e evite os erros que custam pontos.

Logaritmos e exponenciais em 5 minutos

Logaritmo é a pergunta inversa da potência. Em vez de perguntar “quanto é $2^{5}$ ?”, o logaritmo pergunta “a que expoente eu elevo 2 para chegar a 32?”. Por isso $lo g_{2} 32 = 5$ . Toda questão de logaritmo começa trocando o log por uma potência.

Regra 1

Definição

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

Vale para $a > 0$ , $a \neq = 1$ e $b > 0$ . Na dúvida, reescreva como potência.

Regra 2

Produto, quociente e potência

lo g (x y) = lo g x + lo g y

lo g x^{n} = n lo g x

E também $lo g \frac{x}{y} = lo g x - lo g y$ . Multiplicação vira soma; expoente vira multiplicação.

Regra 3

Mudança de base

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}

Serve para calcular qualquer log na calculadora e para resolver $a^{x} = b$ : $x = lo g_{a} b$ .

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Quanto vale $lo g_{3} 81$ ?

Quanto vale $lo g 2 + lo g 5$ (base 10)?

Se $2^{x} = 7$ , então $x$ é igual a:

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. $lo g_{5} 125$ é igual a:

2. $lo g_{2} \frac{1}{8}$ é igual a:

3. $lo g_{7} 1$ é igual a:

4. Com $lo g 2 \approx 0, 30$ e $lo g 3 \approx 0, 48$ , quanto vale aproximadamente $lo g 12$ ?

5. Resolva $3^{x + 1} = 27$ .

6. Resolva $lo g_{2} (x - 1) = 3$ .

7. Uma população dobra a cada 5 anos. Em quantos anos ela fica 8 vezes maior?

8. Resolva $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ .

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · Equação logarítmica

Resolva $lo g_{3} (2 x + 1) = 2$ .

Exemplo 2 · Bases diferentes que são potências da mesma base

Calcule $lo g_{4} 8$ .

Exemplo 3 · Juros compostos: em quanto tempo o dinheiro dobra?

Um investimento rende 10% ao ano, com juros compostos. Em quantos anos o valor dobra? Use $lo g 2 \approx 0, 301$ e $lo g 1, 1 \approx 0, 0414$ .

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Abrir o log de uma soma

✗ Errado

lo g (a + b) = lo g a + lo g b

✓ CertoA regra vale para o produto:

lo g (ab) = lo g a + lo g b

. O log de uma soma não se simplifica.

Teste: $lo g (1 + 1)$ é igual a $lo g 1 + lo g 1$ ?

Elevar o log em vez de multiplicar

✗ Errado

lo g x^{n} = (lo g x)^{n}

✓ CertoO expoente desce multiplicando:

lo g x^{n} = n lo g x

Teste: Calcule $lo g 100 0^{2}$ .

Esquecer a condição de existência

✗ ErradoResolver a equação e aceitar todas as raízes.

✓ CertoO logaritmando tem de ser positivo. Teste cada raiz na equação original.

Teste: Em $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$ aparecem $x = 4$ e $x = - 2$ . Qual sobra?

Confundir divisão de logs com log da divisão

✗ Errado

\frac{lo g a}{lo g b} = lo g \frac{a}{b}

✓ Certo

lo g \frac{a}{b} = lo g a - lo g b

. Já

\frac{l o g a}{l o g b}

é a mudança de base:

lo g_{b} a

Teste: Quanto vale $\frac{lo g 100}{lo g 10}$ ?

Errar os logs de 1 e de 0

✗ Errado

lo g_{a} 1 = 1

lo g_{a} 0 = 0

✓ Certo

lo g_{a} 1 = 0

, porque

a^{0} = 1

. E

lo g_{a} 0

não existe: nenhuma potência de

a

dá zero. Quem vale 1 é

lo g_{a} a

Teste: Quanto vale $lo g_{9} 1 + lo g_{9} 9$ ?

Experimente: o logaritmo desfaz a potência

Mude a base e veja a exponencial e o logaritmo se espelharem. Na segunda aba, descubra em quanto tempo um valor dobra com juros compostos.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo ENEM

Uma cultura de bactérias tem população $P (t) = 500 \cdot 2^{t /3}$ , com $t$ em horas. Depois de quantas horas a população chega a 8 000 bactérias?

Estilo vestibular

Se $lo g_{a} 2 = m$ e $lo g_{a} 3 = n$ , então $lo g_{a} 18$ é igual a:

Estilo SAT

A função $f (t) = 1200 (0, 85)^{t}$ dá o valor, em dólares, de uma máquina $t$ anos após a compra. Qual afirmação é verdadeira?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Função exponencial (f(x) = aˣ) descreve crescimento onde a taxa de aumento é proporcional ao tamanho atual — quanto maior já está, mais rápido cresce. Logaritmo é a pergunta inversa: "a que expoente eu elevo essa base para chegar nesse resultado?" log₂(8) = 3 porque 2³ = 8 — são literalmente a mesma relação, só lida em direções opostas. Onde exponencial responde "quanto isso vale depois de crescer", logaritmo responde "quanto tempo levou para crescer até aqui".

Por que isso importa

A propriedade mais útil do logaritmo — log(a×b) = log(a) + log(b) — não é coincidência, é a razão histórica pela qual logaritmos foram inventados: transformar multiplicação (difícil de fazer à mão com números grandes) em soma (fácil). Antes de calculadora existir, multiplicar dois números de seis dígitos por logaritmo era buscar dois valores numa tábua, somar, e buscar o resultado de volta — muito mais rápido que multiplicação longa. Essa é também a razão de escalas logarítmicas (Richter, decibel, pH) existirem: elas comprimem uma faixa enorme de valores multiplicativos num intervalo pequeno e somável.

Fórmula

Definição:  logₐ(b) = c   ⟺   aᶜ = b   (a>0, a≠1, b>0)

Propriedades:
  log(a×b) = log(a) + log(b)
  log(a/b) = log(a) − log(b)
  log(aⁿ) = n × log(a)
  logₐ(a) = 1
  logₐ(1) = 0

Mudança de base:
  logₐ(b) = log(b) / log(a)

Função exponencial:  f(x) = a × bˣ  (crescimento se b>1, decaimento se 0<b<1)

Exemplo resolvido

Resolva: log₂(x) = 5

Pela definição, isso significa 2⁵ = x.

2⁵ = 32

x = 32

Verificação por definição: log₂(32) pergunta "2 elevado a quê dá 32?". Como 2⁵=32, a resposta é 5 — batendo com o enunciado original.

Onde isso aparece na vida real

Escala Richter de terremotos e decibel de som são logarítmicas — um terremoto de magnitude 6 libera 10 vezes mais energia que um de magnitude 5, não "um pouco mais". Crescimento populacional, juros compostos e decaimento radioativo são exponenciais. Ciência da computação usa logaritmo constantemente para medir eficiência de algoritmos de busca. pH em química é literalmente um logaritmo de concentração de íons.

💡 Dica de estudo

Sempre que ver uma equação com x no expoente, a primeira pergunta é "dá para escrever os dois lados na mesma base?" Se der, os expoentes podem ser igualados direto, sem precisar de logaritmo nenhum — é o caminho mais rápido sempre que disponível.

⚠️ Erro comum

Achar que log(a+b) = log(a) + log(b). A propriedade da soma dos logaritmos vale para MULTIPLICAÇÃO dentro do log, não para soma. log(a+b) não tem forma simplificada — é um erro comum porque a regra do produto (log(a×b)=log(a)+log(b)) é parecida visualmente, mas se aplica a uma operação diferente.

Curiosidade

Antes das calculadoras eletrônicas, engenheiros e cientistas faziam contas complexas usando réguas de cálculo — dispositivos mecânicos baseados inteiramente em escalas logarítmicas, que transformavam multiplicação em simplesmente somar dois comprimentos físicos. A régua de cálculo foi ferramenta padrão de engenharia por mais de 300 anos, incluindo os cálculos que levaram o homem à Lua em 1969.

Pratique

Questão: Resolva: 3ˣ = 81

Ver resposta

Escreva 81 como potência de 3: 81 = 3⁴

3ˣ = 3⁴

Como as bases são iguais, os expoentes têm que ser iguais:
x = 4

Verificação: 3⁴ = 3×3×3×3 = 81 ✓

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

O que é logaritmo, em palavras simples?

É o expoente que falta. $lo g_{2} 8$ pergunta “2 elevado a quanto dá 8?”, e a resposta é 3. O logaritmo é a operação inversa da potência, assim como a raiz é a inversa do quadrado.

Para que serve o logaritmo na vida real?

Para descobrir tempos em processos exponenciais (quanto tempo um investimento leva para dobrar, a idade de um fóssil pelo carbono-14) e para medir grandezas que variam muito, nas escalas logarítmicas: pH, decibéis e a magnitude de terremotos.

Qual a diferença entre log, ln e

lo g_{a}

$lo g$ sem base escrita é base 10. $ln$ é o logaritmo natural, de base $e \approx 2, 718$ . $lo g_{a}$ é o logaritmo na base $a$ . Todas obedecem às mesmas regras, e a mudança de base converte uma na outra.

Logaritmo cai no ENEM e no SAT?

No ENEM e nos vestibulares, sim: em funções exponenciais, juros e escalas como pH e Richter. No SAT, funções exponenciais aparecem com frequência (crescimento, decaimento, porcentagens), mas logaritmos explícitos são raros.

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