SAT

Analytic geometry

Coordinate geometry made clear: distance, midpoint, equations of lines and circles in the coordinate plane, with a drag-the-points tool and exam-style questions.

Analytic geometry in 5 minutes

Coordinate geometry turns shapes into numbers: every point becomes a pair $(x, y)$ , every line becomes an equation, and so does every circle. The central idea is that the distance between two points is the Pythagorean theorem: the legs are the difference in $x$ and the difference in $y$ . With that, geometry questions become calculations.

Rule 1

Distance and midpoint

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

The midpoint is the average of the coordinates. The distance is the hypotenuse of a right triangle drawn between the points.

Rule 2

Equation of a line

y - y_{0} = m (x - x_{0}) m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Parallel lines have the same slope. Perpendicular lines have $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ : flip and change the sign ( $2 \to - \frac{1}{2}$ ).

Rule 3

Circle

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Center $(a, b)$ and radius $r$ . Watch the signs: $(x + 2)^{2}$ means $a = - 2$ . And the right side is $r^{2}$ , not $r$ .

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

What is the distance between $(1, 2)$ and $(4, 6)$ ?

What is the midpoint of $(2, 8)$ and $(6, - 2)$ ?

What are the center and radius of $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ ?

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. What is the distance between $(- 2, 1)$ and $(4, 9)$ ?

2. $M (3, 5)$ is the midpoint of $A (1, 2)$ and $B$ . What are the coordinates of $B$ ?

3. What is the equation of the line with slope $4$ through $(2, 3)$ ?

4. What is the slope of a line perpendicular to $y = 2 x + 1$ ?

5. Which line is parallel to $y = - 3 x + 2$ and passes through $(1, 4)$ ?

6. What is the equation of the circle with center $(2, - 3)$ and radius $5$ ?

7. The circle $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$ has center and radius:

8. The line $3 x + 4 y = 12$ meets the axes at $A$ and $B$ . What is the area of triangle $A O B$ , where $O$ is the origin?

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · A line through two points and its perpendicular

Find the equation of line $r$ through $A (1, 2)$ and $B (3, 8)$ . Then find line $s$ , perpendicular to $r$ , through $B$ .

Example 2 · What kind of triangle is this?

Points $A (1, 1)$ , $B (4, 5)$ and $C (8, 2)$ form a triangle. Classify it by its sides and angles and find its area.

Example 3 · Completing the square for a circle

Find the center and radius of the circle $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ .

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Adding the differences instead of using Pythagoras

✗ Wrong

d

between

(1, 2)

and

(4, 6)

= 3 + 4 = 7

✓ RightThe differences are legs:

d = 3^{2} + 4^{2} = 5

Try it: Distance from $(0, 0)$ to $(5, 12)$ ?

Getting the center’s signs wrong

✗ Wrong

(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9

: center

(2, - 5)

✓ RightThe form is

(x - a)^{2}

x + 2 = x - (- 2)

. Center

(- 2, 5)

Try it: Center of $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 7$ ?

Confusing $r^{2}$ with $r$

✗ Wrong

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 36

: radius

36

✓ RightThe right side is

r^{2}

r = 36 = 6

Try it: Equation of the circle centered at the origin with radius $3$ ?

Perpendicular by only changing the sign

✗ WrongPerpendicular to

m = 2

m = - 2

✓ RightFlip and change the sign:

m = - \frac{1}{2}

, since

2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1

Try it: Slope perpendicular to $m = - \frac{3}{4}$ ?

Midpoint using subtraction

✗ WrongMidpoint of

(2, 8)

and

(6, - 2)

(\frac{6 - 2}{2}, \frac{- 2 - 8}{2}) = (2, - 5)

✓ RightThe midpoint is an average: add and divide by

2

(4, 3)

Try it: Midpoint of $(- 2, 5)$ and $(6, - 1)$ ?

Try it: drag the points

Drag $A$ and $B$ on the plane and see the distance (with the Pythagorean triangle), the midpoint, the slope and the line’s equation. In the other tab, build a circle and see both forms of its equation.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

ENEM style

On a grid map of a neighborhood, each square is $100$ m on a side. The school is at $(1, 2)$ and the hospital at $(7, 10)$ . What is the straight-line distance between them?

Entrance-exam style

The line through $(- 1, 3)$ and $(2, - 3)$ crosses the $y$ -axis at the $y$ -value:

SAT style

In the $x y$ -plane, the graph of $x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y = 0$ is a circle. What is the radius of the circle?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

Analytic geometry is the bridge between algebra and geometry: every point becomes a pair of numbers (x, y), every figure becomes an equation, and geometric questions (do these three lines intersect? what's the distance between these points?) become algebraic questions solved with equations, not a ruler. That idea — from René Descartes, in the 17th century — is what made it possible to handle complex curves with the same precision used for numbers.

Why it matters

The distance formula between two points isn't a new rule to memorize — it's the Pythagorean theorem in disguise. Draw the segment between two points (x₁,y₁) and (x₂,y₂), and complete a right triangle whose legs are the difference in x and the difference in y; the distance is the hypotenuse. Every time you use d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), you're applying Pythagoras without noticing — recognizing that connection means you never have to memorize the formula as something standalone.

Formula

Distance between two points:
  d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

Midpoint:
  M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

Slope of the line through two points:
  m = (y₂−y₁) / (x₂−x₁)

Line equation (point-slope):
  y − y₁ = m(x − x₁)

Circle equation (center C, radius r):
  (x−a)² + (y−b)² = r²

Worked example

Find the equation of the line through (1, 2) and (4, 8).

First, the slope:
m = (8−2)/(4−1) = 6/3 = 2

Using point (1,2) in point-slope form:
y − 2 = 2(x − 1)
y − 2 = 2x − 2
y = 2x

Check: at x=4, y=2(4)=8 — matches the second given point. The line y=2x passes through exactly both original points.

Where this shows up in real life

Every GPS system and digital map represents location as coordinates and calculates routes as an analytic geometry problem. Graphic design and CAD draw any shape as curve equations. Computer vision (facial recognition, self-driving cars) treats images as point coordinates to detect shapes. Any spreadsheet chart is, literally, automated analytic geometry.

💡 Study tip

Before memorizing a new analytic geometry formula, ask what plane geometry theorem it's hiding. Almost all of them — distance, midpoint, even the circle equation — are old ideas (Pythagoras, arithmetic mean) rewritten in coordinates.

⚠️ Common mistake

Swapping the order of subtraction when computing slope — using (x₂−x₁)/(y₂−y₁) instead of (y₂−y₁)/(x₂−x₁). The formula isn't symmetric: the numerator is always the change in y (the "rise"), the denominator always the change in x (the "run"). Flipping the two swaps the slope for its reciprocal, giving a completely different result.

Fun fact

Legend has it that René Descartes got the idea of pairing points with numbers while watching a fly buzz around his ceiling as he lay sick in bed, noticing its position at each instant could be described by two distances — to the two walls. It's probably more biographical myth than verified history, but it captures the central idea well: any position on a plane needs exactly two coordinates.

Practice

Question: Find the distance between points A(−1, 2) and B(3, 5).

Show answer

d = √((3−(−1))² + (5−2)²)
d = √((4)² + (3)²)
d = √(16 + 9)
d = √25
d = 5

Notice 3-4-5 showed up again — legs of 3 and 4 forming a hypotenuse of 5 is the most common Pythagorean triple, and recognizing it means you don't have to work out the square root by hand.

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Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

Do I need to memorize the distance formula?

Not if you remember where it comes from: plot the two points, make a right triangle with horizontal and vertical sides and use Pythagoras. The formula is just that, written with letters.

Which form of the line equation should I use?

To build the equation, $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ is fastest. To read the slope and intercept, use $y = m x + b$ . The general form $a x + b y + c = 0$ shows up on entrance exams; to find its slope, solve for $y$ .

How can I tell whether an equation is a circle?

The $x^{2}$ and $y^{2}$ terms must have the same coefficient and there can be no $x y$ term. After completing the squares, the right side must be positive (it is $r^{2}$ ).

Where does coordinate geometry show up on exams?

ENEM: grid maps, distances and locations. Brazilian entrance exams: parallel and perpendicular lines, point-to-line distance and circles. SAT: circle equations (completing the square), lines in the $x y$ -plane and slope.

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SAT

Geometria analítica

Geometria analítica sem mistério: distância, ponto médio, equação da reta e da circunferência no plano cartesiano, com uma ferramenta de arrastar pontos e questões de ENEM, vestibular e SAT.

Geometria analítica em 5 minutos

A geometria analítica traduz figuras em números: cada ponto vira um par $(x, y)$ , cada reta vira uma equação e cada circunferência também. A ideia central é que a distância entre dois pontos é Pitágoras: os catetos são a diferença dos $x$ e a diferença dos $y$ . Com isso, perguntas de geometria viram contas.

Regra 1

Distância e ponto médio

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

O ponto médio é a média das coordenadas. A distância é a hipotenusa de um triângulo retângulo desenhado entre os pontos.

Regra 2

Equação da reta

y - y_{0} = m (x - x_{0}) m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Retas paralelas têm a mesma inclinação. Retas perpendiculares têm $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ : inverta e troque o sinal ( $2 \to - \frac{1}{2}$ ).

Regra 3

Circunferência

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Centro $(a, b)$ e raio $r$ . Atenção aos sinais: $(x + 2)^{2}$ significa $a = - 2$ . E o lado direito é $r^{2}$ , não $r$ .

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Qual é a distância entre $(1, 2)$ e $(4, 6)$ ?

Qual é o ponto médio entre $(2, 8)$ e $(6, - 2)$ ?

Quais são o centro e o raio de $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ ?

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. Qual é a distância entre $(- 2, 1)$ e $(4, 9)$ ?

2. $M (3, 5)$ é o ponto médio de $A (1, 2)$ e $B$ . Quais são as coordenadas de $B$ ?

3. Qual é a equação da reta de inclinação $4$ que passa por $(2, 3)$ ?

4. Qual é a inclinação de uma reta perpendicular a $y = 2 x + 1$ ?

5. Qual reta é paralela a $y = - 3 x + 2$ e passa por $(1, 4)$ ?

6. Qual é a equação da circunferência de centro $(2, - 3)$ e raio $5$ ?

7. A circunferência $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$ tem centro e raio:

8. A reta $3 x + 4 y = 12$ corta os eixos nos pontos $A$ e $B$ . Qual é a área do triângulo $A O B$ , sendo $O$ a origem?

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · Reta por dois pontos e sua perpendicular

Encontre a equação da reta $r$ que passa por $A (1, 2)$ e $B (3, 8)$ . Depois, encontre a reta $s$ , perpendicular a $r$ , que passa por $B$ .

Exemplo 2 · Que triângulo é esse?

Os pontos $A (1, 1)$ , $B (4, 5)$ e $C (8, 2)$ formam um triângulo. Classifique-o quanto aos lados e aos ângulos e calcule sua área.

Exemplo 3 · Completar quadrados na circunferência

Encontre o centro e o raio da circunferência $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ .

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Somar as diferenças em vez de usar Pitágoras

✗ Errado

d

entre

(1, 2)

(4, 6)

= 3 + 4 = 7

✓ CertoAs diferenças são catetos:

d = 3^{2} + 4^{2} = 5

Teste: Distância de $(0, 0)$ a $(5, 12)$ ?

Errar o sinal do centro

✗ Errado

(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9

: centro

(2, - 5)

✓ CertoA forma é

(x - a)^{2}

x + 2 = x - (- 2)

. Centro

(- 2, 5)

Teste: Centro de $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 7$ ?

Confundir $r^{2}$ com $r$

✗ Errado

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 36

: raio

36

✓ CertoO lado direito é

r^{2}

r = 36 = 6

Teste: Equação da circunferência de centro na origem e raio $3$ ?

Perpendicular só trocando o sinal

✗ ErradoPerpendicular a

m = 2

m = - 2

✓ CertoInverta e troque o sinal:

m = - \frac{1}{2}

, pois

2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1

Teste: Inclinação perpendicular a $m = - \frac{3}{4}$ ?

Ponto médio com subtração

✗ ErradoPonto médio de

(2, 8)

(6, - 2)

(\frac{6 - 2}{2}, \frac{- 2 - 8}{2}) = (2, - 5)

✓ CertoPonto médio é média: some e divida por

2

(4, 3)

Teste: Ponto médio de $(- 2, 5)$ e $(6, - 1)$ ?

Experimente: arraste os pontos

Arraste $A$ e $B$ no plano e veja a distância (com o triângulo de Pitágoras), o ponto médio, a inclinação e a equação da reta. Na outra aba, monte uma circunferência e veja as duas formas da equação.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo ENEM

No mapa quadriculado de um bairro, cada quadradinho tem $100$ m de lado. A escola está no ponto $(1, 2)$ e o hospital no ponto $(7, 10)$ . Qual é a distância, em linha reta, entre a escola e o hospital?

Estilo vestibular

A reta que passa pelos pontos $(- 1, 3)$ e $(2, - 3)$ intercepta o eixo $y$ no ponto de ordenada:

Estilo SAT

No plano $x y$ , o gráfico de $x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y = 0$ é uma circunferência. Qual é o raio dessa circunferência?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Geometria analítica é a ponte entre álgebra e geometria: todo ponto vira um par de números (x, y), toda figura vira uma equação, e perguntas geométricas (essas três retas se cruzam? qual a distância entre esses pontos?) viram perguntas algébricas que se resolvem com equação, não com régua. Foi essa ideia — de René Descartes, no século XVII — que permitiu tratar curvas complexas com a mesma precisão que se tratava números.

Por que isso importa

A fórmula da distância entre dois pontos não é uma regra nova para decorar — é o teorema de Pitágoras disfarçado. Trace o segmento entre dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂), e complete um triângulo retângulo cujos catetos são a diferença em x e a diferença em y; a distância é a hipotenusa. Toda vez que você usa d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), está aplicando Pitágoras sem perceber — reconhecer essa conexão evita ter que decorar a fórmula como algo isolado.

Fórmula

Distância entre dois pontos:
  d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

Ponto médio:
  M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

Coeficiente angular da reta por dois pontos:
  m = (y₂−y₁) / (x₂−x₁)

Equação da reta (ponto-inclinação):
  y − y₁ = m(x − x₁)

Equação da circunferência (centro C, raio r):
  (x−a)² + (y−b)² = r²

Exemplo resolvido

Encontre a equação da reta que passa por (1, 2) e (4, 8).

Primeiro, o coeficiente angular:
m = (8−2)/(4−1) = 6/3 = 2

Usando o ponto (1,2) na forma ponto-inclinação:
y − 2 = 2(x − 1)
y − 2 = 2x − 2
y = 2x

Verificação: em x=4, y=2(4)=8 — bate com o segundo ponto dado. A reta y=2x passa exatamente pelos dois pontos originais.

Onde isso aparece na vida real

Todo sistema de GPS e mapa digital representa localização como coordenadas e calcula rota como problema de geometria analítica. Design gráfico e CAD desenham qualquer forma como equações de curvas. Visão computacional (reconhecimento facial, carros autônomos) trata imagens como coordenadas de pontos para detectar formas. Gráficos de qualquer software de planilha são, literalmente, geometria analítica automatizada.

💡 Dica de estudo

Antes de decorar uma fórmula nova de geometria analítica, pergunte que teorema de geometria plana ela está escondendo. Quase todas — distância, ponto médio, até a equação da circunferência — são ideias antigas (Pitágoras, média aritmética) reescritas em coordenadas.

⚠️ Erro comum

Trocar a ordem da subtração ao calcular coeficiente angular — usar (x₂−x₁)/(y₂−y₁) em vez de (y₂−y₁)/(x₂−x₁). A fórmula não é simétrica: o numerador é sempre a variação em y (a "subida"), o denominador sempre a variação em x (o "avanço"). Inverter os dois troca a inclinação pelo seu inverso, o que dá um resultado completamente diferente.

Curiosidade

Diz a lenda que René Descartes teve a ideia de associar pontos a pares de números observando uma mosca voando pelo teto do quarto enquanto estava doente na cama, e percebendo que a posição dela a cada instante podia ser descrita por duas distâncias — até as duas paredes. É provavelmente mais mito biográfico do que história verificada, mas capta bem a ideia central: qualquer posição no plano precisa de exatamente duas coordenadas.

Pratique

Questão: Encontre a distância entre os pontos A(−1, 2) e B(3, 5).

Ver resposta

d = √((3−(−1))² + (5−2)²)
d = √((4)² + (3)²)
d = √(16 + 9)
d = √25
d = 5

Note que 3-4-5 apareceu de novo — os catetos 3 e 4 formando hipotenusa 5 é o terno pitagórico mais comum, e reconhecê-lo evita ter que calcular a raiz quadrada de cabeça.

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

Preciso decorar a fórmula da distância?

Não, se você lembrar de onde ela vem: desenhe os dois pontos, forme um triângulo retângulo com lados horizontais e verticais e use Pitágoras. A fórmula é só isso escrito com letras.

Qual forma da equação da reta devo usar?

Para montar a equação, $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ é a mais rápida. Para ler inclinação e intercepto, a forma $y = m x + b$ . A forma geral $a x + b y + c = 0$ aparece em vestibulares; para achar a inclinação, isole $y$ .

Como saber se uma equação é de circunferência?

Os termos $x^{2}$ e $y^{2}$ devem ter o mesmo coeficiente e não pode haver termo $x y$ . Depois de completar quadrados, o lado direito precisa ser positivo (ele é $r^{2}$ ).

Onde a geometria analítica aparece nas provas?

No ENEM: mapas quadriculados, distâncias e localização. Nos vestibulares: retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta e circunferências. No SAT: equação da circunferência (completar quadrados), retas no plano $x y$ e inclinação.

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Somar as diferenças em vez de usar Pitágoras

Errar o sinal do centro

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Perpendicular só trocando o sinal

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