SAT

Matrices and linear systems

Systems of equations and matrices that make sense: substitution, elimination, number of solutions, determinants and matrix products, with graphs and exam-style questions.

Matrices and linear systems in 5 minutes

A system of two equations in two unknowns asks: which pair $(x, y)$ satisfies both at once? Each equation is a line, and the solution is where they cross. If the lines are parallel there is no solution; if they are the same line there are infinitely many. A matrix is just a table holding the coefficients, and the determinant tells you whether the solution is unique.

Rule 1

Substitution and elimination

{x + y = 10 x - y = 4 \Rightarrow 2 x = 14

Substitution: solve for one letter and plug it into the other equation. Elimination: multiply equations so one letter cancels when you add. Always check the pair in both equations.

Rule 2

How many solutions?

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}} \to 1 \frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}} \to 0

Different slopes: the lines cross, one solution. Same slope, different intercepts: parallel, none. Proportional equations: the same line, infinitely many.

Rule 3

Determinant and product

det (a c b d) = a d - b c

(A B)_{ij} = row i of A \cdot column j of B

Determinant $\neq = 0$ : the system has a unique solution. The product $A B$ exists only if the number of columns of $A$ equals the number of rows of $B$ ; and in general $A B \neq = B A$ .

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

Solve ${x + y = 10 x - y = 4$

What is $det (3124)$ ?

How many solutions does ${2 x + y = 3 4 x + 2 y = 6$ have?

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. If $2 x + 3 y = 12$ and $x = y + 1$ , what is $x + y$ ?

2. In the system ${3 x + 2 y = 16 x - 2 y = 0$ , what is $y$ ?

3. A theater sold $40$ tickets, full price at $ $30$ and half price at $ $15$ , for a total of $ $900$ . How many half-price tickets were sold?

4. For what value of $k$ does ${x + 2 y = 3 3 x + k y = 9$ have infinitely many solutions?

5. What is $det (23 - 1 4)$ ?

6. What is $(1324) (21)$ ?

7. $A$ is a $2 \times 3$ matrix and $B$ is $3 \times 4$ . About the product $A B$ :

8. If $3 x + y = 11$ and $x + 3 y = 13$ , what is $x + y$ ?

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · Chickens and rabbits

A farm has chickens and rabbits, with $35$ heads and $94$ legs in total. How many rabbits are there?

Example 2 · The add-the-equations shortcut

If $2 x + 3 y = 17$ and $3 x + 2 y = 13$ , find $x + y$ , then $x - y$ , and finally $x$ and $y$ .

Example 3 · Determinant and number of solutions

For which values of $k$ does ${k x + 2 y = 3 2 x + y = 1$ have a unique solution? What happens when $k$ is not one of those values?

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Substituting without parentheses

✗ Wrong

x = y + 1

into

2 x + 3 y = 12

2 y + 1 + 3 y = 12

✓ RightSubstitute with parentheses and distribute:

2 (y + 1) + 3 y = 2 y + 2 + 3 y

Try it: Substitute $y = 2 x - 3$ into $4 x - 3 y = 1$ .

Multiplying only one side

✗ Wrong

x + 2 y = 5

times

3

3 x + 6 y = 5

✓ RightMultiply every term, on both sides:

3 x + 6 y = 15

Try it: Multiply $2 x - y = 4$ by $- 2$ .

Sign errors in the determinant

✗ Wrong

det (23 - 1 4) = 8 - 3 = 5

✓ Right

a d - b c = 2 \cdot 4 - (- 1) \cdot 3 = 8 + 3 = 11

Try it: $det (- 2 1 5 - 3) = ?$

Multiplying matrices entry by entry

✗ Wrong

(1324) (5768) = (5211232)

✓ RightIt is row times column:

(19432250)

(e.g.

1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19

Try it: A $2 \times 3$ matrix times a $3 \times 1$ matrix gives what size?

Stopping after finding one unknown

✗ Wrong“I found

x = 3

, done” (but the question asked for

y

)

✓ RightGo back and find the other unknown; then check the pair in both equations. Reread what the question asks for.

Try it: $x + y = 9$ and $x - y = 1$ . What is $y$ ?

Try it: two lines, one matrix

Change the coefficients and watch the two lines, where they meet, the determinant and the type of system. In the other tab, compute $2 \times 2$ determinants and matrix products step by step.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

ENEM style

At a store, $2$ T-shirts and $1$ pair of shorts cost $ $130$ together, while $1$ T-shirt and $2$ pairs of shorts cost $ $140$ . How much do $1$ T-shirt and $1$ pair of shorts cost together?

Entrance-exam style

If $(x, y, z)$ solves $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 9 x - y = - 1 y - z = - 1$ , then the product $x \cdot y \cdot z$ equals:

SAT style

The system ${k x + 3 y = 4 4 x + 6 y = 9$ has no solution. What is the value of $k$ ?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

A matrix is an organized table of numbers, but what makes it useful isn't the organization — it's that it represents a transformation, a systematic way of taking one set of numbers and producing another. A linear system is a set of equations that must all be true at the same time, and solving it means finding the point (or points) where all those conditions meet — geometrically, where several lines or planes intersect.

Why it matters

Matrix multiplication looks like an arbitrary rule the first time you see it (row times column, summing products), but it's designed exactly to represent applying linear transformations one after another. When you multiply two matrices, you're combining two transformations into one — that's why order matters (AB is generally different from BA): applying transformation A then B isn't the same as applying B then A, just as putting on a sock and then a shoe differs from putting on a shoe and then a sock.

Formula

Matrix multiplication (2×2):
  [a b] [e f]   [ae+bg  af+bh]
  [c d] [g h] = [ce+dg  cf+dh]

Determinant (2×2):
  det = ad − bc,  for [a b; c d]

2×2 system by substitution or elimination:
  a₁x + b₁y = c₁
  a₂x + b₂y = c₂

System classification:
  determinant ≠ 0 → unique solution
  determinant = 0 → no solution or infinitely many

Worked example

Solve the system:
2x + y = 7
x − y = 2

From the second equation: x = y + 2

Substituting into the first:
2(y+2) + y = 7
2y + 4 + y = 7
3y = 3
y = 1

So x = 1 + 2 = 3.

Check in the first equation: 2(3)+1 = 7 ✓. In the second: 3−1 = 2 ✓. The point (3,1) is exactly where the two lines cross.

Where this shows up in real life

Computer graphics uses matrices for every rotation, scale, and translation of 3D objects — every game and animation depends on this for each frame rendered. Neural networks and AI are, at their core, giant sequences of matrix multiplications. Economics uses linear systems to model equilibrium between multiple interdependent sectors. Image compression (JPEG) uses matrix transformations to shrink file size.

💡 Study tip

Before solving a system by substitution, check whether any equation already has a variable isolated or nearly isolated — that's usually faster than setting up full elimination, especially for small systems of two or three variables.

⚠️ Common mistake

Multiplying matrices in the wrong order, forgetting that matrix multiplication isn't commutative (AB ≠ BA, in most cases). Unlike ordinary number multiplication, the order in which you multiply two matrices changes the result — and swapping the order without noticing is this topic's most silent mistake, because the calculation comes out looking "normal," just wrong.

Fun fact

The term "matrix" was coined by English mathematician James Joseph Sylvester in 1850, using the sense of "matrix" as "place where something originates" (the same root as "maternity") — because, to him, a matrix was the object from which smaller determinants (submatrices) were "born." The concept itself, however, was already in use centuries earlier in ancient China to solve linear systems, just without that name.

Practice

Question: Solve the system: 3x + 2y = 16 x + y = 7

Show answer

From the second equation: x = 7 − y

Substituting into the first:
3(7−y) + 2y = 16
21 − 3y + 2y = 16
21 − y = 16
y = 5

So x = 7 − 5 = 2.

Check: 3(2)+2(5) = 6+10 = 16 ✓. And 2+5 = 7 ✓.

Free downloads

One-page summary (PDF)

Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

Download the summary

20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

Substitution or elimination: which should I use?

If a letter is already isolated (or has coefficient $1$ ), use substitution. If the coefficients of a letter are equal or opposite (or easy to make so), use elimination. And always check whether the question asks for a combination like $x + y$ : sometimes you just add.

What are matrices used for?

To organize data in a table and compute with all of it at once: computer graphics (rotating and scaling images), cost spreadsheets, networks and artificial intelligence. On exams, the focus is reading the table, multiplying and computing determinants.

Why does the determinant decide whether the solution is unique?

For the system $a x + b y = e$ , $c x + d y = f$ , $a d - b c = 0$ means $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ : the lines have the same slope. So they are either parallel (no solution) or the same line (infinitely many). With $a d - b c \neq = 0$ , they cross at one point.

Where do systems and matrices show up on exams?

ENEM: price, mixture and ticket problems (systems) and reading tables (matrices). Brazilian entrance exams: determinants, matrix products and analyzing systems. SAT: systems of linear equations are central to Algebra, including “how many solutions”.

← Study beforeIntro to algebra Study next →Analytic geometry

Want personal guidance on this?

Book a free 30-minute chat and find out exactly where to focus your study time.

Book a free chat

SAT

Matrizes e sistemas lineares

Sistemas lineares e matrizes com significado: substituição, adição, número de soluções, determinante e produto de matrizes, com gráficos e questões de ENEM, vestibular e SAT.

Matrizes e sistemas lineares em 5 minutos

Um sistema de duas equações com duas incógnitas pergunta: que par $(x, y)$ satisfaz as duas ao mesmo tempo? Cada equação é uma reta, e a solução é o ponto onde elas se cruzam. Se as retas são paralelas, não há solução; se são a mesma reta, há infinitas. A matriz é só uma tabela que guarda os coeficientes, e o determinante diz se a solução é única.

Regra 1

Substituição e adição

{x + y = 10 x - y = 4 \Rightarrow 2 x = 14

Substituição: isole uma letra e troque na outra equação. Adição: multiplique equações para que uma letra suma ao somar. Sempre confira o par nas duas equações.

Regra 2

Quantas soluções?

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}} \to 1 \frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}} \to 0

Inclinações diferentes: retas concorrentes, uma solução. Mesma inclinação e interceptos diferentes: paralelas, nenhuma. Equações proporcionais: mesma reta, infinitas.

Regra 3

Determinante e produto

det (a c b d) = a d - b c

(A B)_{ij} = linha i de A \cdot coluna j de B

Determinante $\neq = 0$ : o sistema tem solução única. O produto $A B$ só existe se o número de colunas de $A$ for igual ao de linhas de $B$ ; e em geral $A B \neq = B A$ .

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Resolva ${x + y = 10 x - y = 4$

Quanto vale $det (3124)$ ?

Quantas soluções tem ${2 x + y = 3 4 x + 2 y = 6$ ?

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. Se $2 x + 3 y = 12$ e $x = y + 1$ , quanto vale $x + y$ ?

2. No sistema ${3 x + 2 y = 16 x - 2 y = 0$ , quanto vale $y$ ?

3. Um teatro vendeu $40$ ingressos, inteiras a R$ $30$ e meias a R$ $15$ , arrecadando R$ $900$ . Quantas meias foram vendidas?

4. Para que valor de $k$ o sistema ${x + 2 y = 3 3 x + k y = 9$ tem infinitas soluções?

5. Quanto vale $det (23 - 1 4)$ ?

6. Quanto é $(1324) (21)$ ?

7. $A$ é uma matriz $2 \times 3$ e $B$ é $3 \times 4$ . Sobre o produto $A B$ :

8. Se $3 x + y = 11$ e $x + 3 y = 13$ , quanto vale $x + y$ ?

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · Galinhas e coelhos

Num sítio há galinhas e coelhos, num total de $35$ cabeças e $94$ patas. Quantos são os coelhos?

Exemplo 2 · O atalho de somar as equações

Se $2 x + 3 y = 17$ e $3 x + 2 y = 13$ , calcule $x + y$ , depois $x - y$ , e por fim $x$ e $y$ .

Exemplo 3 · Determinante e número de soluções

Para que valores de $k$ o sistema ${k x + 2 y = 3 2 x + y = 1$ tem solução única? O que acontece quando $k$ não é um desses valores?

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Substituir sem parênteses

✗ Errado

x = y + 1

2 x + 3 y = 12

2 y + 1 + 3 y = 12

✓ CertoSubstitua com parênteses e distribua:

2 (y + 1) + 3 y = 2 y + 2 + 3 y

Teste: Substitua $y = 2 x - 3$ em $4 x - 3 y = 1$ .

Multiplicar só um lado da equação

✗ Errado

x + 2 y = 5

vezes

3

3 x + 6 y = 5

✓ CertoMultiplique todos os termos, dos dois lados:

3 x + 6 y = 15

Teste: Multiplique $2 x - y = 4$ por $- 2$ .

Errar o sinal no determinante

✗ Errado

det (23 - 1 4) = 8 - 3 = 5

✓ Certo

a d - b c = 2 \cdot 4 - (- 1) \cdot 3 = 8 + 3 = 11

Teste: $det (- 2 1 5 - 3) = ?$

Multiplicar matrizes elemento a elemento

✗ Errado

(1324) (5768) = (5211232)

✓ CertoÉ linha vezes coluna:

(19432250)

(ex.:

1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19

Teste: Uma matriz $2 \times 3$ vezes uma $3 \times 1$ dá uma matriz de que tamanho?

Parar depois de achar uma incógnita

✗ Errado“Achei

x = 3

, terminei” (mas a pergunta era

y

)

✓ CertoVolte e calcule a outra incógnita; depois confira o par nas duas equações. Releia o que a questão pede.

Teste: $x + y = 9$ e $x - y = 1$ . Quanto vale $y$ ?

Experimente: duas retas, uma matriz

Mude os coeficientes e veja as duas retas, o ponto de encontro, o determinante e a classificação do sistema. Na outra aba, calcule determinantes e produtos de matrizes $2 \times 2$ passo a passo.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo ENEM

Numa loja, $2$ camisetas e $1$ bermuda custam juntas R$ $130, 00$ , enquanto $1$ camiseta e $2$ bermudas custam R$ $140, 00$ . Quanto custam, juntas, $1$ camiseta e $1$ bermuda?

Estilo vestibular

Se $(x, y, z)$ é a solução do sistema $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 9 x - y = - 1 y - z = - 1$ , então o produto $x \cdot y \cdot z$ vale:

Estilo SAT

O sistema ${k x + 3 y = 4 4 x + 6 y = 9$ não tem solução. Qual é o valor de $k$ ?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Uma matriz é uma tabela organizada de números, mas o que a torna útil não é a organização — é que ela representa uma transformação, uma forma de pegar um conjunto de números e produzir outro de forma sistemática. Sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo, e resolver um sistema é achar o ponto (ou pontos) onde todas essas condições se encontram — geometricamente, onde várias retas ou planos se cruzam.

Por que isso importa

Multiplicação de matrizes parece uma regra arbitrária na primeira vez que você vê (linha vezes coluna, somando produtos), mas ela é desenhada exatamente para representar a aplicação sequencial de transformações lineares. Quando você multiplica duas matrizes, está combinando duas transformações em uma só — é por isso que a ordem importa (AB geralmente é diferente de BA): aplicar transformação A e depois B não é o mesmo que aplicar B e depois A, do mesmo jeito que vestir a meia e depois o sapato é diferente de vestir o sapato e depois a meia.

Fórmula

Multiplicação de matrizes (2×2):
  [a b] [e f]   [ae+bg  af+bh]
  [c d] [g h] = [ce+dg  cf+dh]

Determinante (2×2):
  det = ad − bc,  para [a b; c d]

Sistema 2×2 por substituição ou escalonamento:
  a₁x + b₁y = c₁
  a₂x + b₂y = c₂

Classificação do sistema:
  determinante ≠ 0 → solução única
  determinante = 0 → sem solução ou infinitas soluções

Exemplo resolvido

Resolva o sistema:
2x + y = 7
x − y = 2

Da segunda equação: x = y + 2

Substituindo na primeira:
2(y+2) + y = 7
2y + 4 + y = 7
3y = 3
y = 1

Então x = 1 + 2 = 3.

Verificação na primeira equação: 2(3)+1 = 7 ✓. Na segunda: 3−1 = 2 ✓. O ponto (3,1) é exatamente onde as duas retas se cruzam.

Onde isso aparece na vida real

Computação gráfica usa matrizes para toda rotação, escala e translação de objetos 3D — todo jogo e toda animação depende disso a cada quadro renderizado. Redes neurais e inteligência artificial são, no fundo, sequências gigantes de multiplicações de matrizes. Economia usa sistemas lineares para modelar equilíbrio entre múltiplos setores interdependentes. Compressão de imagem (JPEG) usa transformações matriciais para reduzir o tamanho do arquivo.

💡 Dica de estudo

Antes de resolver um sistema por substituição, veja se alguma equação já tem uma variável isolada ou quase isolada — isso costuma ser mais rápido que montar toda a eliminação por escalonamento, especialmente em sistemas pequenos de duas ou três variáveis.

⚠️ Erro comum

Multiplicar matrizes na ordem errada, esquecendo que multiplicação de matrizes não é comutativa (AB ≠ BA, na maioria dos casos). Diferente da multiplicação de números comuns, a ordem em que você multiplica duas matrizes muda o resultado — e trocar a ordem sem perceber é o erro mais silencioso desse assunto, porque a conta sai "normal", só que errada.

Curiosidade

O termo "matriz" foi cunhado pelo matemático inglês James Joseph Sylvester em 1850, usando o sentido de "matriz" como "lugar de onde algo se origina" (a mesma raiz de "maternidade") — porque, para ele, uma matriz era o objeto do qual determinantes menores (submatrizes) "nasciam". O conceito, no entanto, já era usado séculos antes na China antiga para resolver sistemas lineares, sem esse nome.

Pratique

Questão: Resolva o sistema: 3x + 2y = 16 x + y = 7

Ver resposta

Da segunda equação: x = 7 − y

Substituindo na primeira:
3(7−y) + 2y = 16
21 − 3y + 2y = 16
21 − y = 16
y = 5

Então x = 7 − 5 = 2.

Verificação: 3(2)+2(5) = 6+10 = 16 ✓. E 2+5 = 7 ✓.

Materiais grátis

Resumo de 1 página (PDF)

Regras, exemplo resolvido e erros a evitar. Imprima ou guarde no celular.

Baixar o resumo

20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

Substituição ou adição: qual usar?

Se uma letra já está isolada (ou tem coeficiente $1$ ), substituição. Se os coeficientes de uma letra são iguais ou opostos (ou ficam fáceis de igualar), adição. E sempre olhe se a pergunta é uma combinação, como $x + y$ : às vezes basta somar.

Para que servem as matrizes?

Para organizar dados em tabela e fazer contas com eles de uma vez: computação gráfica (girar e ampliar imagens), planilhas de custos, redes e inteligência artificial. Nas provas, o foco é ler a tabela, multiplicar e calcular determinantes.

Por que o determinante decide se a solução é única?

Para o sistema $a x + b y = e$ , $c x + d y = f$ , $a d - b c = 0$ significa $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ : as retas têm a mesma inclinação. Então ou são paralelas (nenhuma solução) ou coincidentes (infinitas). Com $a d - b c \neq = 0$ , elas se cruzam em um ponto.

Onde sistemas e matrizes aparecem nas provas?

No ENEM: problemas de preços, misturas e ingressos (sistemas) e leitura de tabelas (matrizes). Nos vestibulares: determinantes, produto de matrizes e discussão de sistemas. No SAT: sistemas lineares são parte central de Algebra, inclusive “quantas soluções”.

← Estude antesIntrodução à álgebra Estude depois →Geometria analítica

Quer orientação personalizada nisso?

Agende uma conversa gratuita de 30 minutos e descubra exatamente onde focar seus estudos.

Agendar conversa gratuita