SAT

Statistics and probability

Probability without memorizing: favorable outcomes, complements, “and” and “or”, without replacement and conditional probability from tables, with a simulator and exam-style questions.

Statistics and probability in 5 minutes

Probability is a fraction: favorable outcomes over possible outcomes, from $0$ (impossible) to $1$ (certain). The formula is easy; the hard part is counting correctly. Three questions solve almost everything: is it easier to count the opposite (complement)? Is it “and” (multiply) or “or” (add, without double counting)? And, in a table, what is the total after the “given that”?

Rule 1

Definition and complement

P (A) = \frac{favorable}{possible}

P (not A) = 1 - P (A)

This works when all outcomes are equally likely. For “at least one”, it is almost always easier to compute $1 - P (none)$ .

Rule 2

“And” and “or”

P (A and B) = P (A) \cdot P (B)

P (A or B) = P (A) + P (B) - P (A and B)

“And” multiplies (for independent events); “or” adds and removes what was counted twice. Without replacement the second probability changes: the total shrinks.

Rule 3

Conditional probability

P (A ∣ B) = \frac{n ( A and B )}{n ( B )}

“Given that $B$ happened” changes the total: you only look at the cases in $B$ . In a table, read only the row or column of the condition.

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

When rolling a standard die, what is the probability of an even number?

The probability of rain tomorrow is $0.3$ . What is the probability of no rain?

Tossing two coins, what is the probability of two heads?

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. An urn has $3$ red balls and $5$ blue ones. Drawing one ball, what is the probability it is red?

2. Rolling two dice, what is the probability that the sum is $7$ ?

3. Tossing a coin $3$ times, what is the probability of at least one head?

4. The table shows the preferences of $150$ students. $Boys Girls Total Sports 403575 Music 304575 Total 7080150$ If a student who prefers music is chosen at random, what is the probability the student is a girl?

5. A box has $3$ red balls and $2$ blue ones. Two balls are drawn without replacement. What is the probability both are red?

6. A player scores a penalty kick with probability $0.8$ . In two independent kicks, what is the probability of scoring both?

7. Rolling a fair die $600$ times, about how many times would you expect a $6$ ?

8. An integer from $1$ to $20$ is chosen at random. What is the probability that it is a multiple of $3$ or of $5$ ?

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · The two-dice table

Rolling two dice, what is the probability that the sum is $7$ ? And that the sum is at least $10$ ?

Example 2 · “At least one” using the complement

A light bulb has a $10%$ chance of burning out in its first year. With $3$ bulbs that work independently, what is the probability that at least one burns out in the first year?

Example 3 · Two-way table

A survey of $200$ people recorded age and whether they wear glasses: $Age 30 or under Over 30 Total Glasses 306090 No glasses 7040110 Total 100100200$ Find: (a) $P (glasses)$ ; (b) $P (glasses ∣ over 30)$ ; (c) $P (over 30 ∣ glasses)$ .

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Adding when it is “and”

✗ Wrong

P (two heads) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

✓ Right“And” with independent events multiplies:

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

. If you got

1

(certainty), be suspicious.

Try it: Probability of rolling $6$ on both of two dice?

Double counting with “or”

✗ Wrong

P (ace or heart) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} = \frac{17}{52}

✓ RightThe ace of hearts was counted twice:

\frac{4 + 13 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}

Try it: From $1$ to $10$ , $P (even or multiple of 3)$ ?

Forgetting it is without replacement

✗ Wrong

3

red and

2

blue, two draws:

P = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}

✓ RightWithout replacement the box changes:

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}

Try it: Two cards from a deck, without replacement: $P (two hearts)$ ?

Using the wrong total in a conditional

✗ Wrong

P (girl ∣ music) = \frac{45}{150}

✓ Right“Given music”: the total is the music column,

75

\frac{45}{75} = \frac{3}{5}

Try it: In the same table, $P (sports ∣ boy)$ ?

Thinking chance has a memory

✗ Wrong“Heads came up

5

times in a row, so tails is now more likely”

✓ RightThe coin does not remember the past: each toss still has

P = \frac{1}{2}

(the “gambler’s fallacy”).

Try it: A die showed $6$ three times in a row. What is the probability of $6$ on the next roll?

Try it: the probability simulator

Toss coins and roll dice thousands of times and watch the frequency approach the theoretical probability. In the other tab, explore the $6 \times 6$ table of two dice.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

ENEM style

An urn holds $50$ tokens numbered $1$ to $50$ . Drawing one token, the probability that its number is a multiple of $4$ or of $6$ is:

Entrance-exam style

Tossing three fair coins, the probability of exactly two heads is:

SAT style

The table shows how $300$ students get to school. $Grade 9 Grade 10 Total Walk 4060100 Bus 80120200 Total 120180300$ If a student who takes the bus is selected at random, what is the probability that the student is in grade 10?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

Probability measures how plausible an event is, on a scale from 0 (impossible) to 1 (certain). The classic definition is simple to state — favorable outcomes divided by possible outcomes — but the real difficulty in this topic is never the formula, it's counting those outcomes correctly. Most probability mistakes aren't formula errors, they're counting errors: counting the same case twice, or missing cases that should have been included.

Why it matters

The reason independent events multiply probabilities (instead of adding) is that each following event happens within the entire space of possibilities of the previous one — they're "nested" probabilities. P(A and B) = P(A) × P(B) because, out of the times A happens, only a fraction P(B) of those also have B happening. Confusing "and" (multiply) with "or" (add, adjusted to avoid double-counting overlap) is the source of most conceptual mistakes in this topic.

Formula

Probability of an event:
  P(A) = favorable outcomes / possible outcomes

Independent events ("and"):
  P(A and B) = P(A) × P(B)

Mutually exclusive events ("or"):
  P(A or B) = P(A) + P(B)

Non-exclusive events ("or"):
  P(A or B) = P(A) + P(B) − P(A and B)

Complementary probability:
  P(not A) = 1 − P(A)

Worked example

In a room of 23 people, what's the approximate chance that at least two share a birthday (ignoring leap years)?

It's easier to calculate the complement: the chance that EVERYONE has a different date, then subtract from 1.

P(all different) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × ... × (343/365)

Multiplying that chain of 23 fractions gives approximately 0.493.

P(at least two share) = 1 − 0.493 ≈ 0.507, just over 50%.

The result surprises because we intuitively compare "one person against the rest," but the real calculation compares EVERY possible pair — and with 23 people, there are already 253 different pairs watching each other.

Where this shows up in real life

Insurance and betting, whose entire business model is calculating probability more precisely than the customer does. Medical testing, where interpreting a positive result crucially depends on conditional probability. Quality control and failure prediction in engineering. Any weather forecast ("70% chance of rain") is a probability statement based on statistical models.

💡 Study tip

When a probability problem seems complicated to compute directly, ask: "is the complement easier?" Questions with "at least one" are almost always simpler via 1 − P(none), as in the birthday problem.

⚠️ Common mistake

Treating dependent events as if they were independent — for instance, calculating the chance of drawing two same-suit cards from a deck as if the second draw weren't affected by the first card being removed. After the first card is gone, the deck has changed: fewer cards of that suit remain, and fewer cards overall. Ignoring that change is the most common mistake in "without replacement" problems.

Fun fact

Probability theory was born from a question about gambling: in 1654, the gambler Chevalier de Méré asked mathematician Blaise Pascal how to fairly split the winnings of a bet interrupted before its end. The letters Pascal exchanged with Pierre de Fermat solving that problem are considered the founding moment of probability as a mathematical field — a far more mundane origin than you'd expect for an area now essential to science and finance.

Practice

Question: An urn has 4 red balls and 6 blue balls. Two balls are drawn without replacement. What's the probability that both are red?

Show answer

First ball red: 4/10

After removing one red ball, 3 red balls remain out of 9 total (no replacement — the total changed):
Second ball red: 3/9

P(both red) = 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15 ≈ 13.3%

Notice the second fraction is NOT 4/10 again — ignoring that change is exactly the common mistake described above.

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Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

How do I know whether events are independent?

Ask: does knowing one happened change the chance of the other? Coin tosses, die rolls and draws with replacement are independent. Draws without replacement are not: the first draw changes what is left.

Can probability be given as a percentage?

Yes: $\frac{1}{4} = 0.25 = 25%$ . The ENEM often asks for percentages; the SAT for fractions or decimals. Always check that the result is between $0$ and $1$ (or $0%$ and $100%$ ).

What is the margin of error in a survey?

A survey asks a sample, not everyone. If $54%$ of a random sample supports something, with a margin of error of $3$ points, the true population value is likely between $51%$ and $57%$ . Larger (random) samples have smaller margins. This kind of interpretation is common on the SAT.

Where does probability show up on exams?

ENEM: drawings, urns, passwords and tables, almost always with counting. Brazilian entrance exams: “and”, “or”, without replacement and conditional probability. SAT: probability and conditional probability from two-way tables, plus sampling and margin of error.

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SAT

Estatística e probabilidade

Probabilidade sem decoreba: casos favoráveis, complementar, “e” e “ou”, sem reposição e probabilidade condicional em tabelas, com simulador e questões de ENEM, vestibular e SAT.

Estatística e probabilidade em 5 minutos

Probabilidade é uma fração: casos favoráveis sobre casos possíveis, de $0$ (impossível) a $1$ (certo). A fórmula é fácil; o difícil é contar direito. Três perguntas resolvem quase tudo: é mais fácil contar o contrário (complementar)? É “e” (multiplica) ou “ou” (soma, sem contar duas vezes)? E, numa tabela, qual é o total depois do “dado que”?

Regra 1

Definição e complementar

P (A) = \frac{favor a ˊ veis}{poss ı ˊ veis}

P (n \overset{a}{˜} o A) = 1 - P (A)

Vale quando todos os casos são igualmente prováveis. Para “pelo menos um”, quase sempre é mais fácil calcular $1 - P (nenhum)$ .

Regra 2

“E” e “ou”

P (A e B) = P (A) \cdot P (B)

P (A ou B) = P (A) + P (B) - P (A e B)

“E” multiplica (para eventos independentes); “ou” soma e tira o que foi contado duas vezes. Sem reposição, a segunda probabilidade muda: o total diminui.

Regra 3

Probabilidade condicional

P (A ∣ B) = \frac{n ( A e B )}{n ( B )}

“Dado que $B$ aconteceu” troca o total: você só olha para os casos de $B$ . Numa tabela, é ler só a linha ou a coluna da condição.

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Ao lançar um dado comum, qual é a probabilidade de sair um número par?

A probabilidade de chover amanhã é $0, 3$ . Qual é a probabilidade de não chover?

Lançando duas moedas, qual é a probabilidade de saírem duas caras?

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. Uma urna tem $3$ bolas vermelhas e $5$ azuis. Sorteando uma bola, qual é a probabilidade de ser vermelha?

2. Lançando dois dados, qual é a probabilidade de a soma ser $7$ ?

3. Lançando uma moeda $3$ vezes, qual é a probabilidade de sair pelo menos uma cara?

4. A tabela mostra a preferência de $150$ alunos. $Meninos Meninas Total Esporte 403575 M \overset{u}{ˊ} sica 304575 Total 7080150$ Escolhendo ao acaso um aluno que prefere música, qual é a probabilidade de ser menina?

5. Uma caixa tem $3$ bolas vermelhas e $2$ azuis. Retiram-se $2$ bolas, sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas serem vermelhas?

6. Um jogador acerta um pênalti com probabilidade $0, 8$ . Em duas cobranças independentes, qual é a probabilidade de acertar as duas?

7. Lançando um dado honesto $600$ vezes, quantas vezes se espera, aproximadamente, que saia o número $6$ ?

8. Sorteia-se um número inteiro de $1$ a $20$ . Qual é a probabilidade de ele ser múltiplo de $3$ ou de $5$ ?

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · A tabela dos dois dados

Lançando dois dados, qual é a probabilidade de a soma ser $7$ ? E de a soma ser maior ou igual a $10$ ?

Exemplo 2 · “Pelo menos um” pelo complementar

Uma lâmpada tem $10%$ de chance de queimar no primeiro ano. Com $3$ lâmpadas que funcionam de forma independente, qual é a probabilidade de pelo menos uma queimar no primeiro ano?

Exemplo 3 · Tabela de dupla entrada

Uma pesquisa com $200$ pessoas registrou idade e uso de óculos: $At \overset{e}{ˊ} 30 anos Mais de 30 Total Usa \overset{o}{ˊ} culos 306090 N \overset{a}{˜} o usa 7040110 Total 100100200$ Calcule: (a) $P (usa \overset{o}{ˊ} culos)$ ; (b) $P (usa \overset{o}{ˊ} culos ∣ mais de 30)$ ; (c) $P (mais de 30 ∣ usa \overset{o}{ˊ} culos)$ .

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Somar quando é “e”

✗ Errado

P (duas caras) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

✓ Certo“E” com eventos independentes multiplica:

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

. Se a conta deu

1

(certeza), desconfie.

Teste: Probabilidade de tirar $6$ em dois dados?

Contar duas vezes no “ou”

✗ Errado

P (\overset{a}{ˊ} s ou copas) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} = \frac{17}{52}

✓ CertoO ás de copas foi contado duas vezes:

\frac{4 + 13 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}

Teste: De $1$ a $10$ , $P (par ou m \overset{u}{ˊ} ltiplo de 3)$ ?

Esquecer que é sem reposição

✗ Errado

3

vermelhas e

2

azuis, duas retiradas:

P = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}

✓ CertoSem reposição, a caixa muda:

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}

Teste: Duas cartas de um baralho, sem reposição: $P (duas de copas)$ ?

Usar o total errado na condicional

✗ Errado

P (menina ∣ m \overset{u}{ˊ} sica) = \frac{45}{150}

✓ Certo“Dado que é de música”: o total é a coluna música,

75

\frac{45}{75} = \frac{3}{5}

Teste: Na mesma tabela, $P (esporte ∣ menino)$ ?

Achar que o acaso tem memória

✗ Errado“Saiu cara

5

vezes seguidas, agora a coroa está mais provável”

✓ CertoA moeda não lembra do passado: cada lançamento continua com

P = \frac{1}{2}

(é a “falácia do jogador”).

Teste: Um dado deu $6$ três vezes seguidas. Qual é a probabilidade de dar $6$ na próxima?

Experimente: o simulador de probabilidade

Lance moedas e dados milhares de vezes e veja a frequência se aproximar da probabilidade teórica. Na outra aba, explore a tabela $6 \times 6$ dos dois dados.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo ENEM

Numa urna há $50$ fichas numeradas de $1$ a $50$ . Sorteando-se uma ficha, a probabilidade de o número ser múltiplo de $4$ ou de $6$ é:

Estilo vestibular

Lançando-se três moedas honestas, a probabilidade de saírem exatamente duas caras é:

Estilo SAT

A tabela mostra como $300$ alunos vão para a escola. $1^{\circ} ano 2^{\circ} ano Total A p \overset{e}{ˊ} 4060100 \hat{O} nibus 80120200 Total 120180300$ Se um aluno que vai de ônibus é escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ser do $2^{\circ}$ ano?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Probabilidade mede o quão plausível é um evento, numa escala de 0 (impossível) a 1 (certeza). A definição clássica é simples de enunciar — casos favoráveis dividido por casos possíveis — mas a dificuldade real do assunto nunca está na fórmula, está em contar corretamente esses casos. A maior parte dos erros de probabilidade não é erro de fórmula, é erro de contagem: contar o mesmo caso duas vezes, ou esquecer casos que deveriam entrar.

Por que isso importa

A razão pela qual eventos independentes multiplicam probabilidades (em vez de somar) é que cada evento seguinte acontece dentro de todo o espaço de possibilidades do anterior — são probabilidades "aninhadas". P(A e B) = P(A) × P(B) porque, das vezes em que A acontece, só uma fração P(B) delas também tem B acontecendo. Confundir "e" (multiplica) com "ou" (soma, com ajuste para não contar interseção duas vezes) é a origem da maioria dos erros conceituais nesse assunto.

Fórmula

Probabilidade de um evento:
  P(A) = casos favoráveis / casos possíveis

Eventos independentes ("e"):
  P(A e B) = P(A) × P(B)

Eventos mutuamente exclusivos ("ou"):
  P(A ou B) = P(A) + P(B)

Eventos não exclusivos ("ou"):
  P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B)

Probabilidade complementar:
  P(não A) = 1 − P(A)

Exemplo resolvido

Numa sala com 23 pessoas, qual a chance aproximada de pelo menos duas fazerem aniversário no mesmo dia (ignorando anos bissextos)?

É mais fácil calcular o complementar: a chance de TODOS terem datas diferentes, e subtrair de 1.

P(todas diferentes) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × ... × (343/365)

Multiplicando essa cadeia de 23 frações, o resultado é aproximadamente 0,493.

P(pelo menos duas coincidem) = 1 − 0,493 ≈ 0,507, ou seja, pouco mais de 50%.

O resultado surpreende porque comparamos intuitivamente "uma pessoa contra as outras", mas o cálculo real compara TODOS os pares possíveis — e com 23 pessoas já existem 253 pares diferentes se observando.

Onde isso aparece na vida real

Seguros e apostas, cujo modelo de negócio inteiro é calcular probabilidade com mais precisão que o cliente. Testes médicos, onde a interpretação de um resultado positivo depende crucialmente de probabilidade condicional. Controle de qualidade e previsão de falhas em engenharia. Qualquer previsão de tempo ("70% de chance de chuva") é uma afirmação de probabilidade baseada em modelos estatísticos.

💡 Dica de estudo

Quando um problema de probabilidade parecer complicado de calcular direto, pergunte: "é mais fácil calcular o complementar?" Perguntas com "pelo menos um" quase sempre são mais simples via 1 − P(nenhum), como no problema do aniversário.

⚠️ Erro comum

Tratar eventos dependentes como se fossem independentes — por exemplo, calcular a chance de tirar duas cartas de mesmo naipe de um baralho como se a segunda carta não fosse afetada pela primeira ter sido retirada. Depois que a primeira carta sai, o baralho mudou: restam menos cartas daquele naipe e menos cartas no total. Ignorar essa mudança é o erro mais comum em problemas de "sem reposição".

Curiosidade

A teoria da probabilidade nasceu de uma pergunta sobre jogos de azar: em 1654, o jogador Chevalier de Méré perguntou ao matemático Blaise Pascal como dividir de forma justa o prêmio de uma aposta interrompida antes do fim. A troca de cartas entre Pascal e Pierre de Fermat resolvendo esse problema é considerada o marco fundador da probabilidade como campo matemático — origem bem mais mundana do que se imagina para uma área hoje essencial em ciência e finanças.

Pratique

Questão: Uma urna tem 4 bolas vermelhas e 6 azuis. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de as duas serem vermelhas?

Ver resposta

Primeira bola vermelha: 4/10

Após retirar uma vermelha, restam 3 vermelhas em 9 bolas totais (sem reposição — o total mudou):
Segunda bola vermelha: 3/9

P(as duas vermelhas) = 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15 ≈ 13,3%

Repare que a segunda fração NÃO é 4/10 de novo — ignorar essa mudança é exatamente o erro comum descrito acima.

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Regras, exemplo resolvido e erros a evitar. Imprima ou guarde no celular.

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

Como saber se os eventos são independentes?

Pergunte: saber que um aconteceu muda a chance do outro? Lançamentos de moeda e dado, e sorteios com reposição, são independentes. Sorteios sem reposição não são: a primeira retirada muda o que sobra.

Probabilidade pode ser dada em porcentagem?

Sim: $\frac{1}{4} = 0, 25 = 25%$ . O ENEM costuma pedir em porcentagem; o SAT, em fração ou decimal. Confira sempre se o resultado está entre $0$ e $1$ (ou $0%$ e $100%$ ).

O que é margem de erro numa pesquisa?

Uma pesquisa ouve uma amostra, não todo mundo. Se $54%$ da amostra aleatória apoia algo, com margem de erro de $3$ pontos, o valor real da população provavelmente está entre $51%$ e $57%$ . Amostras maiores (e aleatórias) têm margem menor. Esse tipo de interpretação é comum no SAT.

Onde probabilidade aparece nas provas?

No ENEM: sorteios, urnas, senhas e tabelas, quase sempre com contagem. Nos vestibulares: “e”, “ou”, sem reposição e condicional. No SAT: probabilidade e probabilidade condicional a partir de tabelas de dupla entrada, além de amostragem e margem de erro.

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