Grades 8–9

Basic statistics

Basic statistics that makes sense: mean, median, mode and spread explained with real data, so you can read tables and charts without falling for traps.

Basic statistics in 5 minutes

Statistics sums up many numbers with a few. Measures of center (mean, median, mode) say where the data sit; measures of spread (range, standard deviation) say how spread out they are. The key exam question is: which measure best represents this data? When there is a value far from the rest, the median is usually the answer.

Rule 1

Mean

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{p _{1} x _{1} + \dots + p _{n} x _{n}}{p _{1} + \dots + p _{n}}

Add everything and divide by how many there are. In a weighted mean, each value counts as many times as its weight. Handy trick: $sum = mean \cdot n$ .

Rule 2

Median and mode

1, 3, 5, 7, 92, 4, 6, 8 \to \frac{4 + 6}{2} = 5

Median: sort the data and take the middle value (with an even count, the average of the two middle values). Mode: the most frequent value (there may be several, or none).

Rule 3

Spread

range = max - min

σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

The standard deviation $σ$ is the “typical distance” from the data to the mean. All values equal: $σ = 0$ . More spread out: larger $σ$ .

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

What is the mean of $4$ , $7$ and $10$ ?

What is the median of $3, 9, 1, 7, 5$ ?

What is the mode of $2, 3, 3, 5, 8, 3, 5$ ?

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. What is the mean of $6, 8, 10, 12, 14$ ?

2. The mean of $5$ test scores is $7$ . Four of them are $6$ , $7$ , $8$ and $5$ . What is the fifth score?

3. What is the median of $4, 8, 15, 16, 23, 42$ ?

4. The salaries (in thousands) at a small company are $2, 2, 3, 3, 40$ . Which measure best represents a typical salary?

5. The exam has weight $2$ and the project has weight $1$ . A student scored $6$ on the exam and $9$ on the project. What is the weighted mean?

6. What is the range of $12, 5, 20, 8, 15$ ?

7. Sets $A = {5, 5, 5, 5}$ and $B = {1, 3, 7, 9}$ both have mean $5$ . Which has the larger standard deviation?

8. If we add $3$ to every value in a data set, the mean:

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · The missing score

To pass, Ana needs a mean of $7$ over $4$ tests. She scored $6$ , $8$ and $5.5$ on the first three. What does she need on the fourth?

Example 2 · Weighted mean

An entrance exam gives weight $3$ to Math, $2$ to Language and $1$ to the Essay. João scored $8$ , $6$ and $9$ , respectively. What is his final average?

Example 3 · When the mean misleads

The salaries (in thousands) of a shop’s $5$ employees are $2, 2, 3, 4, 14$ . Find the mean, the median and the mode. Which best describes a typical salary?

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Finding the median without sorting

✗ Wrong

3, 9, 1, 7, 5

: median

= 1

(the middle one)

✓ RightSort first:

1, 3, 5, 7, 9

. Median

= 5

Try it: What is the median of $8, 2, 6, 4, 10$ ?

Trusting the mean with an outlier

✗ WrongSalaries

2, 2, 3, 3, 40

: “the typical employee earns

10

thousand”

✓ RightOne extreme value pulls the mean. The median (

3

thousand) better describes what is typical.

Try it: House prices (thousands): $200, 220, 250, 3000$ . Which measure should you use?

Averaging averages of different-sized groups

✗ WrongClass A (

10

students) mean

8

; class B (

30

students) mean

6

\Rightarrow

overall mean

7

✓ RightWeight by size:

\frac{10 \cdot 8 + 30 \cdot 6}{40} = \frac{260}{40} = 6.5

Try it: $20$ boys with mean height $1.70$ m and $30$ girls with mean $1.60$ m. Overall mean?

The median with an even count

✗ Wrong

2, 4, 6, 8

: median

= 4

(or

6

)

✓ RightWith an even count, average the two middle values:

\frac{4 + 6}{2} = 5

Try it: Median of $10, 20, 30, 40, 50, 60$ ?

Leaving out the zeros

✗ WrongScores

0, 6, 8, 10

: mean

= \frac{6 + 8 + 10}{3} = 8

✓ RightZero is a value and counts toward

n

\frac{24}{4} = 6

Try it: Goals in $5$ games: $0, 2, 0, 3, 1$ . Mean goals per game?

Try it: build your own data set

Type a list of numbers (or use the buttons) and instantly see the mean, median, mode, range and standard deviation on a dot plot. Add an extreme value and watch which measure moves.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

Math Olympiad style (OBMEP)

The mean of five different positive integers is $10$ . What is the largest possible value of the largest of these numbers?

ENEM style

In a $20$ -game tournament, the goals per game were: $0$ goals in $4$ games, $1$ goal in $6$ , $2$ goals in $7$ and $3$ goals in $3$ . The median number of goals per game is:

SAT style

A data set of $10$ values has a mean of $20$ . The value $38$ is removed. What is the mean of the remaining $9$ values?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

Basic statistics is about summarizing a pile of numbers into one, without lying too much in the process. Mean, median, and mode are three different answers to "what's the typical value?", and picking the wrong one isn't neutral — it can completely distort the impression the data gives. Spread is the necessary complement: a "typical value" summary with no information about how scattered the data is, is at best incomplete.

Why it matters

The mean is sensitive to extreme values because it adds everything up and divides — a single very high or very low value drags the whole result. The median doesn't have that problem because it only looks at the central position after sorting, completely ignoring how far the extremes sit. That's why a country's "average" salary tends to be much higher than the "typical" salary most people actually earn: a handful of extremely high salaries pull the mean up, while the median keeps representing the real middle.

Formula

Mean (x-bar):  sum of all values / number of values

Median: middle value after sorting the data
  (if the count is even: average of the two middle values)

Mode: most frequently occurring value

Range:  maximum − minimum

Mean absolute deviation:
  sum of |each value − mean| / number of values

Worked example

A team of 5 players has these heights in cm: 170, 172, 175, 178, 250 (the last one is the goalkeeper, exceptionally tall). Compare mean and median.

Mean: (170+172+175+178+250)/5 = 945/5 = 189 cm

Median: already sorted: 170, 172, [175], 178, 250 → median = 175 cm

The mean (189 cm) suggests a "tall" team, but 4 of the 5 players are under 179 cm. The median (175 cm) far better represents the "typical" player on the team, because it isn't pulled by the goalkeeper's exceptional value.

Where this shows up in real life

News stories about average versus median salary — and why the two tell different stories. Sports performance evaluation. Industrial quality control, which uses deviation to know whether a process is "under control" or varying too much. Election polls, which report not just the average but the margin of error — a measure of spread.

💡 Study tip

When you see an "average" in a news story or report, ask: could an extreme value be distorting this? If the answer is probably yes (income data, home prices, anything with potential for very outlying values), the median usually tells the real story better than the mean.

⚠️ Common mistake

Confusing median with "half the mean" or some calculation involving the mean — they're completely independent concepts. The median never uses the sum of the values at any point; it only depends on order. Two data sets can have very different means and the same median, or the reverse.

Fun fact

The word "statistics" comes from the Latin status ("state"), because the discipline was literally born from governments collecting data about their populations for administrative and military purposes — the same root that gives us the word "state." What's now a scientific tool started out as census bureaucracy.

Practice

Question: A student's grades on 6 tests were: 6, 7, 7, 8, 9, 10. Calculate the mean and median, and say which one better represents their performance.

Show answer

Mean: (6+7+7+8+9+10)/6 = 47/6 ≈ 7.83

Median: already sorted, the two middle values are 7 and 8 → median = (7+8)/2 = 7.5

The two are close (7.83 and 7.5) because there's no extreme value dragging the data to one side — in this case it barely matters which you use, and that closeness itself is the signal of an undistorted data set.

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One-page summary (PDF)

Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

When should I use the mean and when the median?

Use the mean when the data are well-behaved, with no extreme values. Use the median when some values are far from the rest (salaries, house prices, waiting times): it is not pulled by them.

Do I need to calculate standard deviation on the exam?

Rarely by hand. What usually comes up is comparing: which set is more spread out? The set with values farther from the mean has the larger standard deviation. Adding a constant to every value does not change the standard deviation; multiplying every value by $k$ multiplies it by $k$ .

What if two values tie for most frequent?

The set is bimodal: it has two modes. If every value appears the same number of times, we say there is no mode.

Where does basic statistics show up on exams?

The ENEM loves frequency tables, charts and the question “which measure best represents the data”. On the SAT it is part of Problem-Solving and Data Analysis. Olympiads use it in sum-and-mean puzzles.

← Study beforePercentage and ratio Study next →Statistics and probability

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8º–9º ano

Estatística básica

Estatística básica com sentido: média, mediana, moda e dispersão explicadas com dados reais, para ler tabelas e gráficos sem cair em pegadinhas.

Estatística básica em 5 minutos

Estatística resume muitos números em poucos. As medidas de centro (média, mediana, moda) dizem onde os dados ficam; as medidas de dispersão (amplitude, desvio padrão) dizem o quanto eles se espalham. A pergunta-chave de prova é: qual medida representa melhor estes dados? Quando há um valor muito fora do padrão, a mediana costuma ser a resposta.

Regra 1

Média

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{p _{1} x _{1} + \dots + p _{n} x _{n}}{p _{1} + \dots + p _{n}}

Soma tudo e divide pela quantidade. Na média ponderada, cada valor conta tantas vezes quanto o seu peso. Truque útil: $soma = m \overset{e}{ˊ} dia \cdot n$ .

Regra 2

Mediana e moda

1, 3, 5, 7, 92, 4, 6, 8 \to \frac{4 + 6}{2} = 5

Mediana: ordene e pegue o valor do meio (com quantidade par, a média dos dois centrais). Moda: o valor que mais aparece (pode haver mais de uma, ou nenhuma).

Regra 3

Dispersão

amplitude = m \overset{a}{ˊ} x - m \overset{ı}{ˊ} n

σ = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

O desvio padrão $σ$ é a “distância típica” dos dados até a média. Dados iguais: $σ = 0$ . Mais espalhados: $σ$ maior.

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Qual é a média de $4$ , $7$ e $10$ ?

Qual é a mediana de $3, 9, 1, 7, 5$ ?

Qual é a moda de $2, 3, 3, 5, 8, 3, 5$ ?

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. Qual é a média de $6, 8, 10, 12, 14$ ?

2. A média de $5$ notas é $7$ . Quatro delas são $6$ , $7$ , $8$ e $5$ . Qual é a quinta nota?

3. Qual é a mediana de $4, 8, 15, 16, 23, 42$ ?

4. Os salários (em mil reais) de uma pequena empresa são $2, 2, 3, 3, 40$ . Que medida representa melhor o salário típico?

5. A prova tem peso $2$ e o trabalho tem peso $1$ . Um aluno tirou $6$ na prova e $9$ no trabalho. Qual é a média ponderada?

6. Qual é a amplitude de $12, 5, 20, 8, 15$ ?

7. Os conjuntos $A = {5, 5, 5, 5}$ e $B = {1, 3, 7, 9}$ têm média $5$ . Qual tem o maior desvio padrão?

8. Se somarmos $3$ a todos os valores de um conjunto de dados, a média:

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · A nota que falta

Para ser aprovada, Ana precisa de média $7$ em $4$ provas. Ela tirou $6$ , $8$ e $5, 5$ nas três primeiras. Quanto precisa tirar na quarta?

Exemplo 2 · Média ponderada

Um vestibular dá peso $3$ para Matemática, $2$ para Português e $1$ para Redação. João tirou $8$ , $6$ e $9$ , respectivamente. Qual é a média final dele?

Exemplo 3 · Quando a média engana

Os salários (em mil reais) dos $5$ funcionários de uma loja são $2, 2, 3, 4, 14$ . Calcule a média, a mediana e a moda. Qual delas descreve melhor o salário típico?

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Calcular a mediana sem ordenar

✗ Errado

3, 9, 1, 7, 5

: mediana

= 1

(o do meio)

✓ CertoOrdene primeiro:

1, 3, 5, 7, 9

. Mediana

= 5

Teste: Qual é a mediana de $8, 2, 6, 4, 10$ ?

Confiar na média com valor extremo

✗ ErradoSalários

2, 2, 3, 3, 40

: “o funcionário típico ganha

10

mil”

✓ CertoUm valor extremo puxa a média. A mediana (

3

mil) descreve melhor o típico.

Teste: Preços de casas (mil): $200, 220, 250, 3000$ . Que medida usar?

Fazer média de médias com grupos diferentes

✗ ErradoTurma A (

10

alunos) média

8

; turma B (

30

alunos) média

6

\Rightarrow

média geral

7

✓ CertoPondere pelo tamanho:

\frac{10 \cdot 8 + 30 \cdot 6}{40} = \frac{260}{40} = 6, 5

Teste: $20$ meninos com altura média $1, 70$ m e $30$ meninas com média $1, 60$ m. Média geral?

Mediana com quantidade par

✗ Errado

2, 4, 6, 8

: mediana

= 4

(ou

6

)

✓ CertoCom quantidade par, faça a média dos dois centrais:

\frac{4 + 6}{2} = 5

Teste: Mediana de $10, 20, 30, 40, 50, 60$ ?

Esquecer os zeros na média

✗ ErradoNotas

0, 6, 8, 10

: média

= \frac{6 + 8 + 10}{3} = 8

✓ CertoO zero é um valor e conta na quantidade:

\frac{24}{4} = 6

Teste: Gols em $5$ jogos: $0, 2, 0, 3, 1$ . Média de gols por jogo?

Experimente: monte seus dados

Digite uma lista de números (ou use os botões) e veja na hora a média, a mediana, a moda, a amplitude e o desvio padrão, num gráfico de pontos. Adicione um valor extremo e veja quem se mexe.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo OBMEP

A média de cinco números inteiros positivos e diferentes é $10$ . Qual é o maior valor possível para o maior desses números?

Estilo ENEM

Num campeonato de $20$ partidas, o número de gols por partida foi: $0$ gol em $4$ partidas, $1$ gol em $6$ , $2$ gols em $7$ e $3$ gols em $3$ . A mediana do número de gols por partida é:

Estilo SAT

Um conjunto de $10$ valores tem média $20$ . O valor $38$ é retirado. Qual é a média dos $9$ valores restantes?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Estatística básica é sobre resumir um monte de números em um só, sem mentir demais no processo. Média, mediana e moda são três respostas diferentes para "qual é o valor típico?", e escolher a errada não é neutro — pode distorcer completamente a impressão que os dados passam. Desvio é o complemento necessário: um resumo de "valor típico" sem informação de quão espalhados os dados estão é, na melhor das hipóteses, incompleto.

Por que isso importa

A média é sensível a valores extremos porque ela soma tudo e divide — um único número muito alto ou muito baixo puxa o resultado inteiro. A mediana não tem esse problema porque ela só olha a posição central depois de ordenar, ignorando completamente o quão longe os extremos estão. É por isso que salário "médio" de um país costuma ser bem maior que o salário "típico" que a maioria das pessoas recebe: poucos salários extremamente altos puxam a média para cima, enquanto a mediana continua representando o meio de verdade.

Fórmula

Média (x-barra):  soma de todos os valores / quantidade de valores

Mediana: valor central após ordenar os dados
  (se a quantidade for par: média dos dois valores centrais)

Moda: valor que mais se repete

Amplitude:  máximo − mínimo

Desvio médio absoluto:
  soma de |cada valor − média| / quantidade de valores

Exemplo resolvido

Um time de 5 jogadores tem essas alturas em cm: 170, 172, 175, 178, 250 (o último é o goleiro, excepcionalmente alto). Compare média e mediana.

Média: (170+172+175+178+250)/5 = 945/5 = 189 cm

Mediana: ordenando (já está ordenado): 170, 172, [175], 178, 250 → mediana = 175 cm

A média (189 cm) sugere um time "alto", mas 4 dos 5 jogadores têm menos de 179 cm. A mediana (175 cm) representa muito melhor o jogador "típico" do time, porque não é puxada pelo valor excepcional do goleiro.

Onde isso aparece na vida real

Notícias sobre salário médio versus salário mediano — e por que os dois contam histórias diferentes. Avaliação de desempenho esportivo. Controle de qualidade industrial, que usa desvio para saber se um processo está "sob controle" ou variando demais. Pesquisas eleitorais, que reportam não só a média mas a margem de erro — uma medida de dispersão.

💡 Dica de estudo

Quando ver "média" numa notícia ou num relatório, pergunte: será que um valor extremo está distorcendo isso? Se a resposta for provavelmente sim (dados de renda, de preço de imóvel, qualquer coisa com potencial para valores muito discrepantes), a mediana costuma contar a história real melhor que a média.

⚠️ Erro comum

Confundir mediana com "metade da média" ou com algum tipo de cálculo envolvendo a média — são conceitos completamente independentes. A mediana não usa a soma dos valores em momento nenhum; ela só depende da ordem. Dois conjuntos de dados podem ter médias muito diferentes e a mesma mediana, ou vice-versa.

Curiosidade

A palavra "estatística" vem do latim status ("estado"), porque a disciplina nasceu literalmente do trabalho de governos coletando dados sobre a população para fins administrativos e militares — de onde também vem a palavra "Estado". O que hoje é ferramenta científica começou como burocracia de censo.

Pratique

Questão: As notas de um aluno em 6 provas foram: 6, 7, 7, 8, 9, 10. Calcule a média e a mediana, e diga qual delas representa melhor o desempenho dele.

Ver resposta

Média: (6+7+7+8+9+10)/6 = 47/6 ≈ 7,83

Mediana: já ordenado, os dois valores centrais são 7 e 8 → mediana = (7+8)/2 = 7,5

As duas estão próximas (7,83 e 7,5) porque não há nenhum valor extremo puxando os dados para um lado — nesse caso, tanto faz usar média ou mediana, e é exatamente esse equilíbrio que sinaliza um conjunto de dados sem distorção.

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Resumo de 1 página (PDF)

Regras, exemplo resolvido e erros a evitar. Imprima ou guarde no celular.

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

Quando usar média e quando usar mediana?

Use a média quando os dados são “bem comportados”, sem valores extremos. Use a mediana quando há valores muito fora do padrão (salários, preços de imóveis, tempos de espera): ela não é puxada por eles.

Preciso calcular desvio padrão na prova?

Raramente na mão. O que mais cai é comparar: qual conjunto tem dados mais espalhados? Quem tem valores mais longe da média tem desvio padrão maior. Somar uma constante a todos não muda o desvio padrão; multiplicar todos por $k$ multiplica o desvio por $k$ .

E se dois valores empatarem como os mais frequentes?

O conjunto é bimodal: tem duas modas. Se todos os valores aparecem o mesmo número de vezes, dizemos que não há moda.

Onde a estatística básica aparece nas provas?

O ENEM adora tabelas de frequência, gráficos e a pergunta “qual medida representa melhor”. No SAT faz parte de Problem-Solving and Data Analysis. Na OBMEP aparece em problemas de soma e média.

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