Grade 8

Percentage and ratio

Percentages and proportions for real life: discounts, successive changes, ratios and the traps that show up most on exams.

Percentage and ratio in 5 minutes

A percentage is just a fraction out of 100: $35% = \frac{35}{100} = 0.35$ . The exam secret is to think in multipliers: increasing by $20%$ means multiplying by $1.2$ ; a $20%$ discount means multiplying by $0.8$ . With that, successive changes, discounts and “what was the original price?” all become a single calculation.

Rule 1

Percent of a number

p % of N = \frac{p}{100} \cdot N

Mental shortcuts: $10%$ means moving the decimal point one place; $5%$ is half of $10%$ ; $1%$ is dividing by $100$ .

Rule 2

Multipliers

p % increase : \times (1 + \frac{p}{100})

p % decrease : \times (1 - \frac{p}{100})

Successive changes multiply the factors, they do not add the percentages: $+ 20%$ then $+ 20%$ gives $1.2 \cdot 1.2 = 1.44$ , that is, $+ 44%$ .

Rule 3

Proportion

direct: \frac{a}{b} = \frac{c}{d} inverse: a \cdot b = c \cdot d

Direct: if one doubles, so does the other (price and quantity). Inverse: if one doubles, the other halves (speed and time).

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

What is $20%$ of $150$ ?

An item costing $ $80$ goes up $25%$ . What is the new price?

If $3$ notebooks cost $ $27$ , how much do $5$ of the same notebooks cost?

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. What is $15%$ of $240$ ?

2. $18$ is what percent of $72$ ?

3. A price rises $10%$ and then falls $10%$ . Compared with the starting price, the final price is:

4. After a $25%$ discount, a pair of sneakers costs $ $90$ . What was the original price?

5. If $4$ kg of coffee costs $ $18$ , how much do $10$ kg cost?

6. $6$ workers build a wall in $10$ days. Working at the same rate, how many days would $15$ workers need?

7. Rent goes up $20%$ one year and another $20%$ the next. The total increase is:

8. In a class of $30$ students, the ratio of boys to girls is $2 : 3$ . How many girls are there?

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · Successive changes

A stock rises $30%$ one month and falls $30%$ the next. Did someone who bought at the start gain or lose? By what percent?

Example 2 · Finding the original price

After a $20%$ discount, a shirt costs $ $64$ . What was the price before the discount?

Example 3 · Inverse proportion

A trip takes $3$ hours at $80$ km/h. How long would it take at $120$ km/h?

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Adding successive percentages

✗ Wrong

+ 20%

then

+ 20%

=

+ 40%

✓ RightMultiply the multipliers:

1.2 \cdot 1.2 = 1.44

, that is,

+ 44%

Try it: Two successive $10%$ discounts equal what single discount?

Thinking equal increase and decrease cancel out

✗ Wrong

+ 10%

then

- 10%

: back to the starting price

✓ Right

1.1 \cdot 0.9 = 0.99

: it ends

1%

lower. The discount is taken from a bigger amount.

Try it: $ $100$ rises $50%$ and then falls $50%$ . What is it now?

Undoing a discount by adding the percentage

✗ WrongCosts

64

after a

20%

discount: original

= 64 + 20% \cdot 64 = 76.80

✓ RightThe discount was on the original price:

0.8 p = 64 \Rightarrow p = 80

Try it: After a $25%$ increase, something costs $150$ . What did it cost before?

Treating an inverse proportion as direct

✗ Wrong

6

painters take

10

days

\Rightarrow

12

painters take

20

days

✓ RightMore painters, fewer days:

6 \cdot 10 = 12 \cdot d \Rightarrow d = 5

days.

Try it: $4$ taps fill a tank in $6$ h. How long do $3$ identical taps take?

Confusing percentage points with percent

✗ WrongThe rate went from

10%

12%

: it rose

2%

✓ RightIt rose

2

percentage points, which is a

\frac{2}{10} = 20%

increase in the rate.

Try it: Unemployment fell from $8%$ to $6%$ . By how many percentage points, and by what percent?

Try it: increases, discounts and proportions

Apply up to three changes in a row and see the total multiplier, recover the original value from the final one and solve any direct or inverse proportion.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

Math Olympiad style (OBMEP)

The price of a product went up $25%$ . To return to the original price, the new price must be reduced by:

ENEM style

A family paid $ $150.00$ per month for electricity. The rate went up $8%$ , but the family cut its usage by $10%$ . All else equal, the new monthly bill is:

SAT style

The price of a jacket was reduced by $40%$ . The sale price is $54$ dollars. What was the original price, in dollars?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

A percentage is a fraction with the denominator locked at 100 — 25% is literally 25/100. The point of having a separate notation for this is comparison: saying "25%" lets you directly compare things of totally different sizes (25% of a class of 20 students and 25% of a population of 2 million) without reducing fractions first. A proportion is the claim that two ratios are equal — a/b = c/d — and that equality is what lets you solve "if this costs that much, how much do those cost."

Why it matters

The reason multipliers (× 0.80 for a 20% discount, × 1.15 for a 15% increase) beat calculating in two steps is that they treat the operation as what it actually is: linear scaling. Taking off 20% isn't "calculate 20% and then subtract" — it's multiplying directly by 0.80, because what's left is 80% of the original value. Seeing a percentage as a single multiplier, rather than two separate calculations, is what lets you correctly chain discounts and understand why a 20% increase followed by a 20% discount doesn't return the original value.

Formula

Percentage of a value:
  part = total × (p/100)

Discount multiplier:  total × (1 − p/100)
Increase multiplier:  total × (1 + p/100)

Proportion (cross-multiplication):
  a/b = c/d   ⟺   a·d = b·c

Percentage change:
  change = [(new − original) / original] × 100

Worked example

A $200 item gets a 20% discount, and then that new price gets another 10% discount. What's the final price, and what was the total discount as a percentage?

200 × 0.80 = 160 (after the 20%)
160 × 0.90 = 144 (after the 10% on the new price)

Final price: $144. The total discount was NOT 30% — if it were, the price would be 200 × 0.70 = 140. The real discount was (200−144)/200 = 28%, because the second discount landed on an already-smaller value.

Where this shows up in real life

Every store discount, every interest rate, every tax baked into a price. News statistics ("a 15% rise in cases"). Investment evaluation, where returns are always expressed as a percentage to allow comparison between investments of different sizes. This is probably the school math topic with the most direct use in adult life.

💡 Study tip

Memorize the most common multipliers outright: −10% is ×0.90, −25% is ×0.75, +50% is ×1.50. With that you can calculate discounts in your head, at the store, no paper needed — and more importantly, without falling into the trap of adding percentages of different bases.

⚠️ Common mistake

Thinking a X% increase followed by an X% decrease returns the original value. It doesn't: $100 rises to $150 with a 50% increase, but a 50% decrease on $150 is $75, not $100. This happens because a percentage always applies to the current value, never the original — and that's exactly why a stock that drops 50% needs to rise 100% (not 50%) for an investor to recover what was lost.

Fun fact

The % symbol evolved from the Italian abbreviation "per cento" ("per hundred"), written in medieval trade documents as "p cento," then "p 100," until the "p" became a slanted bar between two small circles — the shape we still use today, essentially unchanged since the 17th century.

Practice

Question: A pair of pants costs $80. Its price rises 25%, and a month later it gets a 25% discount off the new price. What does it cost now?

Show answer

80 × 1.25 = 100 (25% increase)
100 × 0.75 = 75 (25% discount off the new price)

$75 — LESS than the original $80, even though both percentages were "the same" number. The increase applied to 80 (up 20). The discount applied to 100 (down 25). Since the value that got discounted was larger, the drop in dollars outweighed the rise.

Free downloads

One-page summary (PDF)

Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

How do I find percentages in my head?

Break it into easy pieces: $10%$ (move the decimal point), $5%$ (half of $10%$ ), $1%$ (divide by $100$ ). For example, $15%$ of $80$ is $8 + 4 = 12$ . And remember $p %$ of $N$ equals $N %$ of $p$ : $8%$ of $50$ = $50%$ of $8$ = $4$ .

How do I tell a direct proportion from an inverse one?

Ask: “if one quantity doubles, does the other double or halve?”. More items, higher cost: direct. More speed, less time: inverse. In an inverse proportion, the product of the two quantities stays constant.

Why use multipliers instead of finding the percent and adding it?

Because it solves everything in one step and avoids the two most common mistakes: adding successive percentages and undoing a discount by adding. It is also the form used in compound interest and exponential functions.

Where do percentages and proportions show up on exams?

Everywhere. It is one of the most tested topics on the ENEM (bills, discounts, charts, scale drawings). On the SAT it is part of Problem-Solving and Data Analysis. Olympiads use it in ratio and mixture problems.

← Study beforeFractions and decimals Study next →Basic statistics

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8º ano

Porcentagem e proporção

Porcentagem e proporção para a vida real: descontos, aumentos sucessivos, regra de três e as pegadinhas que mais caem em prova.

Porcentagem e proporção em 5 minutos

Porcentagem é só uma fração com denominador 100: $35% = \frac{35}{100} = 0, 35$ . O segredo das provas é pensar em fator multiplicativo: aumentar $20%$ é multiplicar por $1, 2$ ; dar $20%$ de desconto é multiplicar por $0, 8$ . Com isso, aumentos sucessivos, descontos e “qual era o preço original?” viram uma conta só.

Regra 1

Porcentagem de um valor

p % de N = \frac{p}{100} \cdot N

Atalhos de cabeça: $10%$ é “andar a vírgula” uma casa; $5%$ é metade de $10%$ ; $1%$ é dividir por $100$ .

Regra 2

Fator multiplicativo

aumento de p % : \times (1 + \frac{p}{100})

desconto de p % : \times (1 - \frac{p}{100})

Variações sucessivas multiplicam os fatores, não somam as porcentagens: $+ 20%$ e $+ 20%$ dá $1, 2 \cdot 1, 2 = 1, 44$ , ou seja, $+ 44%$ .

Regra 3

Proporção

direta: \frac{a}{b} = \frac{c}{d} inversa: a \cdot b = c \cdot d

Direta: se uma dobra, a outra dobra (preço e quantidade). Inversa: se uma dobra, a outra cai pela metade (velocidade e tempo).

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

Quanto é $20%$ de $150$ ?

Um produto de R$ $80$ sobe $25%$ . Qual é o novo preço?

Se $3$ cadernos custam R$ $27$ , quanto custam $5$ cadernos iguais?

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. Quanto é $15%$ de $240$ ?

2. $18$ é quantos por cento de $72$ ?

3. Um preço sobe $10%$ e depois cai $10%$ . Em relação ao preço inicial, o preço final:

4. Com $25%$ de desconto, um tênis custa R$ $90$ . Qual era o preço original?

5. Se $4$ kg de café custam R$ $18$ , quanto custam $10$ kg?

6. $6$ pedreiros constroem um muro em $10$ dias. Em quantos dias $15$ pedreiros, no mesmo ritmo, constroem o mesmo muro?

7. Um aluguel sobe $20%$ num ano e mais $20%$ no ano seguinte. O aumento total foi de:

8. Numa turma de $30$ alunos, a razão entre meninos e meninas é $2 : 3$ . Quantas são as meninas?

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · Variações sucessivas

Uma ação sobe $30%$ num mês e cai $30%$ no mês seguinte. Quem comprou no início ganhou ou perdeu? Quanto, em porcentagem?

Exemplo 2 · Descobrir o preço original

Depois de um desconto de $20%$ , uma camisa custa R$ $64$ . Qual era o preço antes do desconto?

Exemplo 3 · Proporção inversa

Uma viagem leva $3$ horas a $80$ km/h. Quanto tempo levaria a $120$ km/h?

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Somar porcentagens sucessivas

✗ Errado

+ 20%

e depois

+ 20%

=

+ 40%

✓ CertoMultiplique os fatores:

1, 2 \cdot 1, 2 = 1, 44

, ou seja,

+ 44%

Teste: Dois descontos sucessivos de $10%$ equivalem a um desconto de quanto?

Achar que aumento e desconto iguais se cancelam

✗ Errado

+ 10%

e depois

- 10%

: volta ao preço inicial

✓ Certo

1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99

: fica

1%

abaixo. O desconto é calculado sobre um valor maior.

Teste: R$ $100$ sobe $50%$ e depois cai $50%$ . Quanto fica?

Desfazer desconto somando a porcentagem

✗ ErradoCusta

64

após

20%

de desconto: original

= 64 + 20% \cdot 64 = 76, 80

✓ CertoO desconto foi sobre o preço original:

0, 8 p = 64 \Rightarrow p = 80

Teste: Depois de um aumento de $25%$ , algo custa $150$ . Qual era o preço antes?

Tratar proporção inversa como direta

✗ Errado

6

pintores levam

10

dias

\Rightarrow

12

pintores levam

20

dias

✓ CertoMais pintores, menos dias:

6 \cdot 10 = 12 \cdot d \Rightarrow d = 5

dias.

Teste: $4$ torneiras enchem um tanque em $6$ h. Em quanto tempo $3$ torneiras iguais enchem?

Confundir pontos percentuais com porcentagem

✗ ErradoA taxa foi de

10%

para

12%

: aumentou

2%

✓ CertoAumentou

2

pontos percentuais, o que é um aumento de

\frac{2}{10} = 20%

na taxa.

Teste: O desemprego caiu de $8%$ para $6%$ . Caiu quantos pontos percentuais e quantos por cento?

Experimente: aumentos, descontos e regra de três

Aplique até três variações seguidas e veja o fator total, descubra o valor original a partir do valor final e resolva qualquer regra de três, direta ou inversa.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo OBMEP

O preço de um produto aumentou $25%$ . Para voltar ao preço original, o novo preço deve ser reduzido em:

Estilo ENEM

Uma família pagava R$ $150, 00$ por mês de energia elétrica. A tarifa subiu $8%$ , mas a família reduziu o consumo em $10%$ . Mantidas as demais condições, o novo valor mensal da conta é:

Estilo SAT

O preço de uma jaqueta foi reduzido em $40%$ . O preço promocional é $54$ dólares. Qual era o preço original, em dólares?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Porcentagem é uma fração com denominador travado em 100 — 25% é literalmente 25/100. O ponto de existir uma notação separada para isso é comparação: dizer "25%" permite comparar diretamente coisas de tamanhos totalmente diferentes (25% de uma turma de 20 alunos e 25% de uma população de 2 milhões) sem precisar reduzir frações primeiro. Proporção é a afirmação de que duas razões valem o mesmo — a/b = c/d —, e é essa igualdade que permite resolver "se isso custa tanto, quanto custam aqueles".

Por que isso importa

A razão pela qual multiplicadores (× 0,80 para 20% de desconto, × 1,15 para 15% de acréscimo) funcionam melhor que calcular em dois passos é que eles tratam a operação como o que ela realmente é: escalonamento linear. Tirar 20% não é "calcular 20% e depois subtrair" — é multiplicar direto por 0,80, porque o que sobra é 80% do valor original. Ver a porcentagem como um multiplicador único, em vez de duas contas separadas, é o que permite encadear descontos corretamente e entender por que 20% de aumento seguido de 20% de desconto não devolve o valor original.

Fórmula

Porcentagem de um valor:
  parte = total × (p/100)

Multiplicador de desconto:  total × (1 − p/100)
Multiplicador de acréscimo:  total × (1 + p/100)

Proporção (regra de três):
  a/b = c/d   ⟺   a·d = b·c

Variação percentual:
  variação = [(novo − original) / original] × 100

Exemplo resolvido

Um produto de R$ 200 recebe 20% de desconto, e depois esse novo preço recebe mais 10% de desconto. Qual o preço final, e qual foi o desconto total em porcentagem?

200 × 0,80 = 160 (após os 20%)
160 × 0,90 = 144 (após os 10% sobre o novo preço)

Preço final: R$ 144. O desconto total NÃO foi 30% — se fosse, o preço seria 200 × 0,70 = 140. O desconto real foi (200−144)/200 = 28%, porque o segundo desconto incidiu sobre um valor já menor.

Onde isso aparece na vida real

Todo desconto de loja, toda taxa de juros, todo imposto embutido em preço. Estatísticas de jornal ("aumento de 15% nos casos"). Avaliação de investimento, onde rendimento é sempre expresso como porcentagem para permitir comparação entre aplicações de tamanhos diferentes. É provavelmente o conteúdo de matemática escolar com mais uso direto na vida adulta.

💡 Dica de estudo

Memorize os multiplicadores mais comuns direto: −10% é ×0,90, −25% é ×0,75, +50% é ×1,50. Com isso você calcula descontos de cabeça, na loja, sem papel — e principalmente sem cair no erro de somar porcentagens de bases diferentes.

⚠️ Erro comum

Achar que um aumento de X% seguido de uma queda de X% devolve o valor original. Não devolve: R$ 100 sobe para R$ 150 com 50% de aumento, mas 50% de queda sobre R$ 150 é R$ 75, não R$ 100. Isso acontece porque a porcentagem sempre incide sobre o valor atual, nunca sobre o original — e é exatamente por isso que uma ação que cai 50% precisa subir 100% (não 50%) para o investidor recuperar o que perdeu.

Curiosidade

O símbolo % evoluiu da abreviação italiana "per cento" ("por cento"), escrita em documentos comerciais medievais como "p cento", depois "p 100", até o "p" virar uma barra inclinada entre dois círculos pequenos — o desenho que ainda usamos hoje, praticamente sem mudança desde o século XVII.

Pratique

Questão: Uma calça custa R$ 80. Ela sobe 25% de preço, e um mês depois recebe 25% de desconto sobre o novo preço. Quanto custa agora?

Ver resposta

80 × 1,25 = 100 (aumento de 25%)
100 × 0,75 = 75 (desconto de 25% sobre o novo preço)

R$ 75 — MENOS que os R$ 80 originais, mesmo os dois percentuais sendo "iguais" em número. O aumento incidiu sobre 80 (subiu 20). O desconto incidiu sobre 100 (caiu 25). Como o valor que sofreu o desconto era maior, a queda em reais foi maior que a subida.

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Regras, exemplo resolvido e erros a evitar. Imprima ou guarde no celular.

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

Como calcular porcentagem de cabeça?

Quebre em pedaços fáceis: $10%$ (ande a vírgula), $5%$ (metade de $10%$ ), $1%$ (divida por $100$ ). Por exemplo, $15%$ de $80$ é $8 + 4 = 12$ . E lembre que $p %$ de $N$ é igual a $N %$ de $p$ : $8%$ de $50$ = $50%$ de $8$ = $4$ .

Como saber se a regra de três é direta ou inversa?

Pergunte: “se uma grandeza dobrar, a outra dobra ou cai pela metade?”. Mais produtos, mais caro: direta. Mais velocidade, menos tempo: inversa. Na inversa, o produto das grandezas fica constante.

Por que usar fator multiplicativo em vez de calcular a porcentagem e somar?

Porque resolve tudo em uma conta e evita os dois erros mais comuns: somar porcentagens sucessivas e desfazer desconto somando. Também é a forma usada em juros compostos e funções exponenciais.

Onde porcentagem e proporção aparecem nas provas?

Em todo lugar. No ENEM é um dos assuntos mais cobrados (contas, descontos, gráficos, escalas). No SAT faz parte de Problem-Solving and Data Analysis. Na OBMEP aparece em problemas de razão e mistura.

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