Grade 9

Powers and roots

Exponents and roots without memorizing: understand the rules, zero and negative exponents, scientific notation and how to simplify roots.

Powers and roots in 5 minutes

An exponent is repeated multiplication: $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Every rule comes from that: count how many equal factors there are. A root is the inverse operation: $9 = 3$ because $3^{2} = 9$ . That is why a root can also be written as a fractional power: $a = a^{1/2}$ .

Rule 1

The rules

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} (ab)^{n} = a^{n} b^{n}

Same base: when multiplying, add the exponents; when dividing, subtract. Power of a power: multiply.

Rule 2

Zero and negative exponents

a^{0} = 1 a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0)

A negative exponent does not make the number negative: it “flips” it. $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ and $(\frac{2}{3})^{- 1} = \frac{3}{2}$ .

Rule 3

Roots

n a^{m} = a^{m / n} a \cdot b = a \cdot b

To simplify, look for a perfect square inside the root: $50 = 25 \cdot 2 = 52$ . But careful: $a + b \neq = a + b$ .

Check yourself

Three quick questions. Pick an answer to see why.

$2^{3} \cdot 2^{4}$ equals:

What is $5^{- 2}$ ?

What is the simplified form of $72$ ?

Test your level

Eight questions, from easy to exam level. At the end you get exactly what to review.

1. $(3^{2})^{3}$ equals:

2. $\frac{1 0 ^{6}}{1 0 ^{2}}$ equals:

3. What is $7^{0} + 2^{- 1}$ ?

4. What is $- 2^{4} + (- 2)^{4}$ ?

5. What is $8^{2/3}$ ?

6. How is $0.00045$ written in scientific notation?

7. What is $50 + 18$ ?

8. Simplify $(2 x^{3})^{2} \cdot x^{- 4}$ , with $x \neq = 0$ .

Worked examples, step by step

Try each one first. Then open one hint at a time, and only then the full solution.

Example 1 · Scientific notation in practice

The Earth is about $150, 000, 000$ km from the Sun, and light travels $300, 000$ km per second. How long does sunlight take to reach the Earth?

Example 2 · Simplifying and adding roots

Compute $50 + 18 - 8$ .

Example 3 · Everything in the same base

Compute $\frac{2 ^{5} \cdot 4 ^{3}}{8 ^{2}}$ without a calculator.

Mistakes that cost points

The errors examiners count on. Learn to spot them in your own work.

Multiplying exponents in a product

✗ Wrong

2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{12}

✓ RightCount the factors:

3 + 4 = 7

2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}

. Exponents multiply only for a power of a power.

Try it: $x^{5} \cdot x^{2} = ?$

Thinking a negative exponent gives a negative number

✗ Wrong

2^{- 3} = - 8

✓ Right

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}

: positive and small.

Try it: $1 0^{- 2} = ?$

Mixing up $- 2^{4}$ and $(- 2)^{4}$

✗ Wrong

- 2^{4} = 16

✓ RightWithout parentheses the exponent applies only to the

2

- 2^{4} = - (2^{4}) = - 16

. But

(- 2)^{4} = 16

Try it: $- 3^{2} = ?$ and $(- 3)^{2} = ?$

Splitting the root of a sum

✗ Wrong

9 + 16 = 3 + 4 = 7

✓ RightAdd first:

25 = 5

. A root only splits over products:

9 \cdot 16 = 3 \cdot 4

Try it: $36 + 64 = ?$

Adding powers by adding exponents

✗ Wrong

2^{3} + 2^{3} = 2^{6}

✓ RightThere is no exponent rule for sums:

2^{3} + 2^{3} = 2 \cdot 2^{3} = 2^{4} = 16

(while

2^{6} = 64

Try it: $3^{5} + 3^{5} + 3^{5} = ?$

Try it: powers, scientific notation and roots

See why $a^{0} = 1$ and $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ on a ladder of powers, convert any number to scientific notation and simplify square roots by factoring.

Where it shows up on the exam

Original questions in the style of each exam, with full solutions.

Math Olympiad style (OBMEP)

What is the units digit of $3^{2026}$ ?

ENEM style

A virus is about $0.0000001$ m long. How many of these viruses, lined up end to end, would make a row $1$ cm long?

SAT style

For $x > 0$ , which expression is equivalent to $(x^{1/2} \cdot x^{3/2})^{2}$ ?

Understand in depth

Why it works, where it shows up in real life, and more.

Exponentiation is repeated multiplication of the same number — but what makes it interesting isn't the definition, it's the behavior: powers grow far faster than sums, and that speed difference is what separates linear growth from exponential growth. A root is the inverse operation: if 2³ = 8, then the cube root of 8 is 2. Every power property has a mirrored version for roots, because a root is a power with a fractional exponent — √x is the same as x^(1/2).

Why it matters

The rule for multiplying same-base powers by adding exponents (a^m × a^n = a^(m+n)) isn't arbitrary — it's a direct consequence of counting how many times the base repeats. a^m is a multiplied m times; a^n is a multiplied n times; multiplying the two is a multiplied (m+n) times. From that single idea — counting repetitions — every other property (dividing by subtracting exponents, a power of a power by multiplying exponents) can be derived, instead of needing to be memorized separately.

Formula

Multiplying same-base powers:  a^m × a^n = a^(m+n)
Dividing same-base powers:  a^m ÷ a^n = a^(m−n)
Power of a power:  (a^m)^n = a^(m×n)
Zero exponent:  a⁰ = 1  (a ≠ 0)
Negative exponent:  a^(−n) = 1/a^n

Root as a fractional exponent:
  ⁿ√a = a^(1/n)
  ⁿ√(a^m) = a^(m/n)

Worked example

Simplify: (2³ × 2⁵) / 2⁴

First the numerator, adding exponents (same base being multiplied):
2³ × 2⁵ = 2^(3+5) = 2⁸

Then the division, subtracting exponents:
2⁸ / 2⁴ = 2^(8−4) = 2⁴ = 16

Notice that at no point did you need to compute 2³=8 or 2⁵=32 separately — working directly with the exponents is faster and sidesteps arithmetic errors with big numbers.

Where this shows up in real life

Population and investment growth (compound interest is pure exponentiation). Earthquake scales (Richter) and sound scales (decibel), which are logarithmic — the inverse of exponentiation. Computer science: storage capacity in bytes is always a power of 2. Radioactive half-life and how medication decays in the body.

💡 Study tip

Never try to solve a^m × a^n by computing each power first when the bases match — add the exponents directly. This avoids needlessly wrestling with huge numbers and is nearly error-proof.

⚠️ Common mistake

Thinking a^m × a^n = a^(m×n), mixing up the rule for multiplying powers with the rule for a power of a power. They're different rules: equal bases being multiplied add exponents; a power raised to another exponent multiplies them. Mixing the two up is the single most common mistake in this entire topic.

Fun fact

An ordinary sheet of paper (0.1 mm thick) folded 42 times would be tall enough to reach the Moon — about 440,000 km. The math is just 0.1 mm × 2⁴². It sounds implausible because our intuition is trained to think in linear growth (adding), not exponential growth (repeated multiplying) — and that exact difference in behavior is what makes exponentiation so powerful, and so counterintuitive at the same time.

Practice

Question: Simplify: (3⁴)² ÷ 3⁵

Show answer

First the power of a power, multiplying exponents:
(3⁴)² = 3^(4×2) = 3⁸

Then the division, subtracting exponents:
3⁸ ÷ 3⁵ = 3^(8−5) = 3³ = 27

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Rules, worked example and mistakes to avoid. Print it or keep it on your phone.

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20 practice exercises with answers

A full practice list, from easy to exam level, with the answer key.

Frequently asked questions

Why is

a^{0} = 1

Look at the ladder: $2^{3} = 8$ , $2^{2} = 4$ , $2^{1} = 2$ . Each step down divides by $2$ . The next step is $2^{0} = 2 \div 2 = 1$ . Continuing, $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ , $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ … That is why a negative exponent becomes a fraction. The tool above shows this ladder.

Is there a square root of a negative number?

Not in the real numbers: no real number squared is negative. A cube root does exist: $3 - 8 = - 2$ , because $(- 2)^{3} = - 8$ .

What is scientific notation for?

To write and compute with very large or very small numbers (distances in space, cell sizes, national debts) without getting lost in zeros. Multiplying and dividing become operating on the front numbers and adding or subtracting the exponents.

Where does this topic show up on exams?

Olympiads use units-digit and power-comparison problems. The ENEM uses scientific notation (astronomy, biology, data). On the SAT it appears as equivalent expressions with rational exponents and radicals, in Advanced Math.

← Study beforeFractions and decimals Study next →Logarithms and exponentials

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9º ano

Potenciação e radiciação

Potenciação e radiciação sem decoreba: entenda as propriedades, o expoente zero e negativo, a notação científica e como simplificar raízes.

Potenciação e radiciação em 5 minutos

Potência é multiplicação repetida: $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Todas as propriedades saem daí: contar quantos fatores iguais há. E a raiz é a operação inversa: $9 = 3$ porque $3^{2} = 9$ . Por isso uma raiz também pode ser escrita como potência de expoente fracionário: $a = a^{1/2}$ .

Regra 1

Propriedades

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} (ab)^{n} = a^{n} b^{n}

Mesma base: na multiplicação soma os expoentes, na divisão subtrai. Potência de potência: multiplica.

Regra 2

Expoente zero e negativo

a^{0} = 1 a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0)

Expoente negativo não deixa o número negativo: ele “inverte”. $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ e $(\frac{2}{3})^{- 1} = \frac{3}{2}$ .

Regra 3

Raízes

n a^{m} = a^{m / n} a \cdot b = a \cdot b

Para simplificar, procure um quadrado perfeito dentro da raiz: $50 = 25 \cdot 2 = 52$ . Mas atenção: $a + b \neq = a + b$ .

Teste rápido

Três perguntas rápidas. Escolha uma resposta para ver o porquê.

$2^{3} \cdot 2^{4}$ é igual a:

Quanto vale $5^{- 2}$ ?

Qual é a forma simplificada de $72$ ?

Teste seu nível

Oito questões, do básico ao nível de prova. No final você recebe exatamente o que revisar.

1. $(3^{2})^{3}$ é igual a:

2. $\frac{1 0 ^{6}}{1 0 ^{2}}$ é igual a:

3. Quanto vale $7^{0} + 2^{- 1}$ ?

4. Quanto vale $- 2^{4} + (- 2)^{4}$ ?

5. Quanto vale $8^{2/3}$ ?

6. Como se escreve $0, 00045$ em notação científica?

7. Quanto é $50 + 18$ ?

8. Simplifique $(2 x^{3})^{2} \cdot x^{- 4}$ , com $x \neq = 0$ .

Exemplos resolvidos, passo a passo

Tente primeiro. Depois abra uma dica de cada vez e só então a solução completa.

Exemplo 1 · Notação científica na prática

A distância da Terra ao Sol é de cerca de $150000000$ km, e a luz percorre $300000$ km por segundo. Quanto tempo a luz do Sol leva para chegar à Terra?

Exemplo 2 · Simplificar e somar raízes

Calcule $50 + 18 - 8$ .

Exemplo 3 · Tudo na mesma base

Calcule $\frac{2 ^{5} \cdot 4 ^{3}}{8 ^{2}}$ sem calculadora.

Erros que custam pontos

Os erros com que as bancas contam. Aprenda a encontrá-los no seu próprio cálculo.

Multiplicar os expoentes no produto

✗ Errado

2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{12}

✓ CertoConte os fatores:

3 + 4 = 7

2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}

. Multiplicar expoentes é só em potência de potência.

Teste: $x^{5} \cdot x^{2} = ?$

Achar que expoente negativo dá número negativo

✗ Errado

2^{- 3} = - 8

✓ Certo

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}

: é positivo e pequeno.

Teste: $1 0^{- 2} = ?$

Confundir $- 2^{4}$ com $(- 2)^{4}$

✗ Errado

- 2^{4} = 16

✓ CertoSem parênteses, o expoente vale só para o

2

- 2^{4} = - (2^{4}) = - 16

. Já

(- 2)^{4} = 16

Teste: $- 3^{2} = ?$ e $(- 3)^{2} = ?$

Separar a raiz de uma soma

✗ Errado

9 + 16 = 3 + 4 = 7

✓ CertoPrimeiro a soma:

25 = 5

. A raiz só se separa em produtos:

9 \cdot 16 = 3 \cdot 4

Teste: $36 + 64 = ?$

Somar potências somando expoentes

✗ Errado

2^{3} + 2^{3} = 2^{6}

✓ CertoSoma não tem propriedade de expoente:

2^{3} + 2^{3} = 2 \cdot 2^{3} = 2^{4} = 16

2^{6} = 64

Teste: $3^{5} + 3^{5} + 3^{5} = ?$

Experimente: potências, notação científica e raízes

Veja por que $a^{0} = 1$ e $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ numa escada de potências, converta qualquer número para notação científica e simplifique raízes quadradas com a fatoração.

Onde cai na prova

Questões originais no estilo de cada prova, com resolução completa.

Estilo OBMEP

Qual é o algarismo das unidades de $3^{2026}$ ?

Estilo ENEM

Um vírus mede cerca de $0, 0000001$ m de comprimento. Quantos desses vírus, enfileirados, seriam necessários para formar uma fila de $1$ cm?

Estilo SAT

Para $x > 0$ , qual expressão é equivalente a $(x^{1/2} \cdot x^{3/2})^{2}$ ?

Entender a fundo

Por que funciona, onde aparece na vida real e mais.

Potenciação é multiplicação repetida do mesmo número — mas o que faz ela interessante não é a definição, é o comportamento: potência cresce muito mais rápido que soma, e é essa diferença de velocidade que separa crescimento linear de crescimento exponencial. Radiciação é a operação inversa: se 2³ = 8, então a raiz cúbica de 8 é 2. Toda propriedade de potência tem uma versão espelhada em raiz, porque raiz é potência com expoente fracionário — √x é o mesmo que x^(1/2).

Por que isso importa

A regra de multiplicar potências de mesma base somando os expoentes (a^m × a^n = a^(m+n)) não é arbitrária — é consequência direta de contar quantas vezes a base se repete. a^m é a multiplicado m vezes; a^n é a multiplicado n vezes; multiplicar os dois é a multiplicado (m+n) vezes. A partir dessa única ideia — contar repetições — todas as outras propriedades (divisão subtraindo expoentes, potência de potência multiplicando expoentes) se deduzem, em vez de precisarem ser decoradas separadamente.

Fórmula

Multiplicação de potências de mesma base:  a^m × a^n = a^(m+n)
Divisão de potências de mesma base:  a^m ÷ a^n = a^(m−n)
Potência de potência:  (a^m)^n = a^(m×n)
Expoente zero:  a⁰ = 1  (a ≠ 0)
Expoente negativo:  a^(−n) = 1/a^n

Raiz como expoente fracionário:
  ⁿ√a = a^(1/n)
  ⁿ√(a^m) = a^(m/n)

Exemplo resolvido

Simplifique: (2³ × 2⁵) / 2⁴

Primeiro o numerador, somando os expoentes (mesma base sendo multiplicada):
2³ × 2⁵ = 2^(3+5) = 2⁸

Depois a divisão, subtraindo os expoentes:
2⁸ / 2⁴ = 2^(8−4) = 2⁴ = 16

Repare que em nenhum momento foi preciso calcular 2³=8 ou 2⁵=32 separadamente — trabalhar direto com os expoentes é mais rápido e evita erro de conta com números grandes.

Onde isso aparece na vida real

Crescimento populacional e de investimentos (juros compostos são potenciação pura). Escalas de terremoto (Richter) e de som (decibel), que são logarítmicas — ou seja, o inverso de potência. Ciência da computação: capacidade de armazenamento em bytes é sempre potência de 2. Meia-vida radioativa e decaimento de medicamentos no organismo.

💡 Dica de estudo

Nunca tente resolver a^m × a^n calculando cada potência primeiro se as bases forem iguais — some os expoentes direto. Isso evita lidar com números gigantes desnecessariamente e é praticamente à prova de erro de conta.

⚠️ Erro comum

Achar que a^m × a^n = a^(m×n), confundindo a regra de multiplicação de potências com a de potência de potência. São regras diferentes: bases iguais sendo multiplicadas somam expoentes; uma potência elevada a outro expoente multiplica. Confundir as duas é o erro mais comum de todo o conteúdo.

Curiosidade

Uma folha de papel comum (0,1 mm de espessura) dobrada 42 vezes teria altura suficiente para alcançar a Lua — cerca de 440 mil km. A conta é só 0,1 mm × 2⁴². Parece implausível porque nossa intuição é treinada para pensar em crescimento linear (somar), não exponencial (multiplicar repetidamente) — e é exatamente essa diferença de comportamento que torna potenciação tão poderosa e, ao mesmo tempo, tão contraintuitiva.

Pratique

Questão: Simplifique: (3⁴)² ÷ 3⁵

Ver resposta

Primeiro a potência de potência, multiplicando os expoentes:
(3⁴)² = 3^(4×2) = 3⁸

Depois a divisão, subtraindo os expoentes:
3⁸ ÷ 3⁵ = 3^(8−5) = 3³ = 27

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20 exercícios com gabarito

Uma lista completa, do básico ao nível de prova, com gabarito.

Perguntas frequentes

Por que

a^{0} = 1

Olhe a escada: $2^{3} = 8$ , $2^{2} = 4$ , $2^{1} = 2$ . A cada degrau dividimos por $2$ . O próximo degrau é $2^{0} = 2 \div 2 = 1$ . Continuando, $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ , $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ … É por isso que o expoente negativo vira fração. A ferramenta acima mostra essa escada.

Existe raiz quadrada de número negativo?

Não nos números reais: nenhum número real ao quadrado dá negativo. Já a raiz cúbica existe: $3 - 8 = - 2$ , porque $(- 2)^{3} = - 8$ .

Para que serve a notação científica?

Para escrever e fazer contas com números muito grandes ou muito pequenos (distâncias no espaço, tamanho de células, dívidas de países) sem se perder nos zeros. Multiplicar e dividir vira operar os números da frente e somar ou subtrair os expoentes.

Onde esse assunto aparece nas provas?

Na OBMEP, em problemas de último algarismo e de comparar potências. No ENEM, em notação científica (astronomia, biologia, dados). No SAT, em expressões equivalentes com expoentes racionais e radicais, dentro de Advanced Math.

← Estude antesFrações e números decimais Estude depois →Logaritmos e exponenciais

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Powers and roots

The rules

Zero and negative exponents

Roots

Check yourself

Test your level

Worked examples, step by step

Mistakes that cost points

Multiplying exponents in a product

Thinking a negative exponent gives a negative number

Mixing up −24 and (−2)4

Splitting the root of a sum

Adding powers by adding exponents

Try it: powers, scientific notation and roots

Where it shows up on the exam

Understand in depth

Why it matters

Formula

Worked example

Where this shows up in real life

Fun fact

Practice

Free downloads

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20 practice exercises with answers

Frequently asked questions

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Potenciação e radiciação

Propriedades

Expoente zero e negativo

Raízes

Teste rápido

Teste seu nível

Exemplos resolvidos, passo a passo

Erros que custam pontos

Multiplicar os expoentes no produto

Achar que expoente negativo dá número negativo

Confundir −24 com (−2)4

Separar a raiz de uma soma

Somar potências somando expoentes

Experimente: potências, notação científica e raízes

Onde cai na prova

Entender a fundo

Por que isso importa

Fórmula

Exemplo resolvido

Onde isso aparece na vida real

Curiosidade

Pratique

Materiais grátis

Resumo de 1 página (PDF)

20 exercícios com gabarito

Perguntas frequentes

Quer orientação personalizada nisso?

Mixing up $- 2^{4}$ and $(- 2)^{4}$

Confundir $- 2^{4}$ com $(- 2)^{4}$